【题目】如图,二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A(2,3),与x轴的正半轴交于点G(1+,0);一次函数y=kx+b的图象经过点A,且交x轴于点P,交抛物线于另一点B,又知点A,B位于点P的同侧.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若PA=3PB,求一次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,当k>0时,抛物线的对称轴上是否存在点C,使⊙C同时与x轴和直线AP都相切?如果存在,请求出点C的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2) 或; (3)存在这样的点或(1,﹣5﹣10),使得同时与轴和直线都相切.
【解析】分析:(1)根据抛物线的对称轴为x=1可求出m的值,再将点A的坐标代入抛物线的解析式中求出n值,此题得解;
(2)根据P、A、B三点共线以及PA=3PB结合点A的坐标即可得出点B的纵坐标,将其代入抛物线解析式中即可求出点B的坐标,再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AP的解析式;
(3)假设存在,设出点C的坐标,依照题意画出图形,根据角的计算找出∠DCF=∠EPF,再通过解直角三角形找出关于r的一元一次方程,解方程求出r值,将其代入点C的坐标中即可得出结论.
详解:(1)∵抛物线的对称轴为x=1,∴﹣=1,解得:m=.
将点A(2,3)代入y=﹣x2+x+n中,3=﹣1+1+n,解得:n=3,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3.
(2)∵P、A、B三点共线,PA=3PB,且点A、B位于点P的同侧,∴yA﹣yP=3(yB﹣yP).
又∵点P为x轴上的点,点A(2,3),∴yB=1.
当y=1时,有﹣x2+x+3=1,解得:x1=﹣2,x2=4,∴点B的坐标为(﹣2,1)或(4,1).
将点A(2,3)、B(﹣2,1)代入y=kx+b中得,解得:,∴一次函数的解析式y=x+2;
将点A(2,3)、B(4,1)代入y=kx+b中,解得:,∴一次函数的解析式y=﹣x+5.
综上所述:当PA:PB=3:1时,一次函数的解析式为y=x+2或y=﹣x+5.
(3)假设存在,设点C的坐标为(1,r).
∵k>0,∴直线AP的解析式为y=x+2.
当y=0时,x+2=0,解得:x=﹣4,∴点P的坐标为(﹣4,0),当x=1时,y=,∴点D的坐标为(1,).
令⊙与直线AP的切点为F,与x轴的切点为E,抛物线的对称轴与直线AP的交点为D,连接CF,如图所示.
∵∠PFC=∠PEC=90°,∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°,∴∠DCF=∠EPF.
在Rt△CDF中,tan∠DCF=tan∠EPF=,CD=﹣r,∴CD=CF=|r|=﹣r,解得:r=
故当k>0时,抛物线的对称轴上存在点C,使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切,点C的坐标为(1,5﹣10)或(1,﹣5﹣10).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25,144,48,121个平方单位,PR=13(单位),则该八边形的面积= __________平方单位.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校准备建一条5米宽的文化长廊,并按下图方式铺设边长为1米的正方形地砖,图中阴影部分为彩色地砖,白色部分为普通地砖.
(1)如果长廊长8米,则需要彩色地砖 块,普通地砖 块;
(2)如果长廊长2a米(a为正整数),则需要彩色地砖 块;
(3)购买时,恰逢地砖市场地砖促销,彩色地砖原价为100元/块,普通地砖原价为40元/块,优惠方案为:买一块彩色地砖赠送一块普通地砖.
①如果长廊长x米(x为整数),用含x代数式表示购买地砖所需的钱数;
②当x=51米时,求购买地砖所需钱数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知∠1=∠2,要说明△ABD≌△ACD,还需从下列条件中选一个,错误的选法是( )
A. ∠ADB=∠ADCB. ∠B=∠CC. DB=DCD. AB=AC
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线l经过A(2,3)B(,0)
(1) 求直线l的解析式及l与坐标轴围成的图形的面积.
(2) 将l向下平移3个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到直线l,画出l的图象并直接写出l的解析式__________________.
(3)若点M(,m),N(n,1)在直线l上,P为y轴上一动点,则PM+PN最小时,P的坐标为____________,此时PM+PN=______________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E是CD中点,连结OE.过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F,连结DF.求证:
(1)△ODE≌△FCE;
(2)四边形ODFC是菱形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方形中,点、是正方形内两点,,,为探索这个图形的特殊性质,某数学兴趣小组经历了如下过程:
(1)在图1中,连接,且
①求证:与互相平分;
②求证:;
(2)在图2中,当,其它条件不变时,是否成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.
(3)在图3中,当,,时,求之长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地,若快递员开车每分钟行驶1.2,就早到10分钟;若快递员开车每分钟行驶0.8,就要迟到5分钟.试求出规定时间及快递员所行驶的总路程.
小明和小新在解答时先设出未知数,然后列出方程如下:
①,②,其中方程①由小明所列,方程②由小新所列.
(1)小明所设表示 ;
小新所设表示 .
(2)请选小明或小新的方法写出完整的解答过程.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com