【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D是AB上一动点,连接CD,以CD为直径的⊙M交AC于点E,连接BM并延长交AC于点F,交⊙M于点G,连接BE.
(1)求证:点B在⊙M上.
(2)当点D移动到使CD⊥BE时,求BC:BD的值.
(3)当点D到移动到使时,求证:AE+CF=EF.
【答案】(1)见解析;(2)BC:BD=;(3)见解析.
【解析】
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出BM=DM=CM,即可得证;
(2)连接DE,先证得BD=DE ,再证明AE=DE=DB,由勾股定理得到AD=,进一步得出BC=AB=,从而得解;
(3)连接EM,先证出△DME是等边三角形,得到AE=DE=EM,再证∠EMF=90°,再证出CF=MF,然后由勾股定理可得到EM+MF=EF,即AE+CF=EF.
(1)∵CD为⊙M的直径
∴CM=DM=CD
∵∠ABC=90°
∴BM=CM=DM=CD
∴点B在⊙M上
(2)如图,连接DE,
∵CD为⊙M的直径,CD⊥BE
∴∠DEC=90°, ,
∴∠DEA=90°, BD=DE ,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠A=∠ACB=45° ,
∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=45°,
∴∠ADE=∠A=45°,
∴AE=DE ,
∴AE=DE=DB,
∴AD= ,
∴AB=AD+BD=,
∴BC=AB=
∴BC:BD=
(3)如图,连接EM,
∵∠EMB=2∠ECB,由(2)知∠ECB=45°,
∴ ∠EMB=90°,
∴ ∠EMF=90°,
∴ EM+MF=EF ,
∵ ,
∴∠CMG=30°,
∴∠DME=60°,
∵DM=EM,
∴△DME是等边三角形.
∴DE=EM,∠CDE=60°,
由(2)知AE=DE,
∴AE=ME ,
∵∠AEC=90°, ∠CDE=60°,
∴∠DCE=30°,
∴∠DCE=∠CMG=30°
∴CF=MF,
∵ EM+MF=EF
∴ AE+CF=EF.
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【题目】如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,AB=4.若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合).
(1)求证:△ABE∽△DCA;
(2)若BE·CD=k(k为常数),求k的值;
(3)在旋转过程中,当△AFG旋转到如图2的位置时,AG与BC交于点E,AF的延长线与CB的延长线交于点D,那么(2)中k的值是否发生了变化?为什么?
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【题目】如图,线段AB的长度为2,AB所在直线上方存在点C,使得△ABC为等腰三角形,设△ABC的面积为S.当S=___________时,满足条件的点C恰有三个.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C、D在圆上,,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)已知BC=3,AC=4,求CE的长.
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【题目】已知,AB、BC是半径为的⊙O内的两条弦,且AB=6,BC=8.(1)若∠ABC=90°,则=________;(2)若∠ABC=120°,则=______.
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【题目】国家限购以来,二手房和新楼盘的成交量迅速下降.据统计,某市限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套;限购后,同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套.其中二手房成交量比限购前减少55%,新楼盘成交量比限购前减少52%.
(1)问限购后二手房和新楼盘各成交多少套?
(2)在成交量下跌的同时,房价也大幅跳水.某楼盘限购前均价为12000元/m2,限购后,房价经过二次下调后均价为9720元/m2,求平均每次下调的百分率.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,D是弧的中点,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)当AB=10,AC=时,求弧的长;
(3)当AB=20时,直接写出△ABC面积最大时,点D到直径AB的距离.
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【题目】如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤△AOE与△COF成中心对称.其中正确的个数为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】(操作发现)
(1)如图1,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF.
①求∠EAF的度数;
②DE与EF相等吗?请说明理由;
(类比探究)
(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF.请直接写出探究结果:
①∠EAF的度数;
②线段AE,ED,DB之间的数量关系.
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