Question

【题目】已知：正方形ABCD，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连接EC，AG．

（1）当点E在正方形ABCD内部时，

①根据题意，在图1中补全图形；

②判断AG与CE的数量关系与位置关系并写出证明思路．

（2）当点B，D，G在一条直线时，若AD＝4，DG＝，求CE的长．（可在备用图中画图）

Answer 1

【答案】(1) ①见解析；②AG＝CE，AG⊥CE，理由见解析；（2）CE的长为或

【解析】

（1）①根据题意补全图形即可；
②先判断出∠GDA=∠EDC，进而得出△AGD≌△CED，即可得出AG=CE，延长CE分别交AG、AD于点F、H，判断出∠AFH=∠HDC=90°即可得出结论；
（2）分两种情况，①当点G在线段BD的延长线上时，②当点G在线段BD上时，构造直角三角形利用勾股定理即可得出结论．

解：（1）当点E在正方形ABCD内部时，

①依题意，补全图形如图1：

②AG=CE，AG⊥CE．
理由：
在正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵由DE绕着点D顺时针旋转90°得DG，
∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE，
∴∠GDA=∠EDC
在△AGD和△CED中，

，
∴△AGD≌△CED，
∴AG=CE．

如图2,延长CE分别交AG、AD于点F、H，
∵△AGD≌△CED，
∴∠GAD=∠ECD，
∵∠AHF=∠CHD，
∴∠AFH=∠HDC=90°，
∴AG⊥CE．
（2）①当点G在线段BD的延长线上时，如图3所示．
过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠GDM=45°．
∵GM⊥AD，DG=

∴MD=MG=2，
∴AM=AD+DM=6
在Rt△AMG中，由勾股定理得：AG==，

同（1）可证△AGD≌△CED，
∴CE=AG=
②当点G在线段BD上时，如图4所示，
过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG=45°
∵GM⊥AD，DG=

∴MD=MG=2，
∴AM=AD-MD=2
在Rt△AMG中，由勾股定理得：AG==，

同（1）可证△AGD≌△CED，
∴CE=AG=．

故CE的长为或．