Question

【题目】给出如下规定：两个图形G1和G2 ， 点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．
（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为 ， 点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离为；
（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为 ，那么k=；（可在图1中进行研究）

（3）点E的坐标为（1， ），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．
①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．
②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．

Answer 1

【答案】
（1）3；
（2）﹣4
（3）

解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直），

；

②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，

由 得 ，即点M（﹣ ， ），

由 得： ，即点N（﹣ ， ），

则﹣ ≤x≤﹣ ，

图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），

即图形W与图形N之间的距离为d，

d=

=

=

∴当x=﹣ 时，d的最小值为 = ，

即图形W和图形N之间的距离 ．

【解析】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，
故答案分别为：3， ；
·（2）∵直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为 ，
∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．
过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，

由 得 ，即点F（﹣ ， ），
则OF= = ，
∴OE=OF+EF=2 ，
在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，
则有OG=EG= OE=2，
∴点E的坐标为（﹣2，2），
∴k=﹣2×2=﹣4，
故答案为：﹣4；
（1）只需根据新定义即可解决问题；（2）过点O作直线y=x+1的垂线，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，根据新定义可得直线y=﹣x和双曲线y= 之间的距离就是线段EF的长，如何只需求出点E的坐标，运用待定系数法就可求出k的值；（3）①过点O分别作射线OE、OF的垂线OH、OG，如图2，根据新定义可得图形M为x轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点；②设直线y=﹣2x﹣4与射线OH的交点为M，与射线OG的交点为N，先求得M、N的坐标，得出x的范围，如图2，图形N上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），根据新定义可得图形W与图形N之间的距离为d= 的最小值．利用二次函数的增减性求出d= 的最小值，就可解决问题．