Question

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，P、Q分别为AB、BC上的动点，点P从点A出发沿AB方向作匀速移动的同时，点Q从点B出发沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P、Q移动的时间为t（0＜t≤4）．
（1）当PQ⊥AB时，①求证：$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{AB}$；②求t的值；
（2）当t为何值时，PQ=PB；
（3）当t为何值时，△PBQ的面积等于$\frac{9}{5}$cm²．

Answer 1

分析 （1）①只要证明△QBP∽△ABC即可，②代入比例式可以求出t．
（2）由△BPD∽△BAC得$\frac{BD}{BC}=\frac{BP}{BA}$列出方程即可求出t．
（3）由△BPE∽△BAC得$\frac{BP}{AB}=\frac{PE}{AC}$求出PE，代入三角形面积公式即可．

解答 解：（1）①∵PQ⊥AB，∠C=90°，
∴∠BPQ=∠C=90°，
∵∠QBP=∠ABC，
∴△QBP∽△ABC，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，
②在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由①知，BP•BA=BQ•BC，
∴5（5-t）=4t，解得 t=$\frac{25}{9}$．
（2）当PB=PQ时，过点P作PD⊥BC于D（如图4），则BD=DQ，PD∥AC．
∴△BPD∽△BAC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BP}{BA}$，即$\frac{1}{2}$t•5=4（5-t），解得 t=$\frac{40}{13}$，
（3）过点P作PE⊥BC于E，则PE∥AC（如图5）．
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{PE}{AC}$，即 $\frac{5-t}{5}=\frac{PE}{3}$，解得 PE=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BQ•PE=$\frac{9}{5}$，即 $\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{5}$（5-t）=$\frac{9}{5}$，
整理，得t²-5t+6=0．解这个方程，得t₁=2，t₂=3，
∵0＜t≤4，∴当t为2s或3s时．△PBQ的面积等于$\frac{9}{5}$cm²．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行成比例等知识，学会用方程的思想解决问题，灵活运用相似三角形是解决问题的关键．