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如图,已知抛物线y=2x2﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.

(1)写出以A,B,C为顶点的三角形面积;

(2)过点E(0,6)且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点(点M在点N的左侧),以MN为一边,抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形,当平行四边形的面积为8时,求出点P的坐标;

(3)过点D(m,0)(其中m>1)且与x轴垂直的直线l2上有一点Q(点Q在第一象限),使得以Q,D,B为顶点的三角形和以B,C,O为顶点的三角形相似,求线段QD的长(用含m的代数式表示).

 

【答案】

(1)2;(2)(,8)或(,8)或(,4)或(,4);(3)2m-2或

【解析】

试题分析:(1)在二次函数的解析式中,令y=0,求出x=±1,得到AB=2,令x=0时,求出y=-2,得到OC=2,然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积;

(2)先将y=6代入,求出x=±2,得到点M与点N的坐标,则MN=4,再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2,则P点纵坐标为8或4.分两种情况讨论:①当P点纵坐标为8时,将y=8代入,求出x的值,得到点P的坐标;②当P点纵坐标为4时,将y=4代入,求出x的值,得到点P的坐标;

(3)由于∠QDB=∠BOC=90°,所以以Q,D,B为顶点的三角形和以B,C,O为顶点的三角形相似时,分两种情况讨论:①OB与BD边是对应边,②OB与QD边是对应边两种情况,根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可.

试题解析:(1)∵

∴当y=0时,2x2-2=0,x=±1,

∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(1,0),AB=2,

又当x=0时,y=-2,

∴点C的坐标为(0,-2),OC=2,

AB•OC×2×2=2;

(2)将y=6代入

,解得x=±2,

∴点M的坐标为(-2,6),点N的坐标为(2,6),MN=4.

∵平行四边形的面积为8,

∴MN边上的高为:8÷4=2,

∴P点纵坐标为6±2.

①当P点纵坐标为6+2=8时,,解得

∴点P的坐标为(,8)或(,8);

②当P点纵坐标为6-2=4时,,解得

∴点P的坐标为(,4)或(,4);

(3)∵点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,-2),

∴OB=1,OC=2.

∵∠QDB=∠BOC=90°,

∴以Q,D,B为顶点的三角形和以B,C,O为顶点的三角形相似时,分两种情况:

①OB与BD边是对应边时,△OBC∽△DBQ,

,即,解得DQ=2(m-1)=2m-2,

②OB与QD边是对应边时,△OBC∽△DQB,

,即,解得

综上所述,线段QD的长为2m-2或

考点:二次函数的综合题

 

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(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
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(1)求此抛物线的解析式;
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