Question

已知如图，两个长为8，宽为2的矩形纸条倾斜地重叠着．
（1）求证：两矩形重叠部分为菱形；
（2）求菱形面积最大和最小值．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）由“由两组对边相互平行的四边形为平行四边形”判定四边形ABCD是平行四边形，然后根据邻边AD=AB推知平行四边形ABCD是菱形；
（2）当两张纸条如图2所示放置时，菱形面积最大；当两张纸条如图所示3放置时，菱形面积最小．

解答：（1）证明：根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
如图，分别作CD，BC边上的高为AE，AF，
∵两纸条宽度相同，
∴AE=AF．
∵平行四边形ABCD的面积为AE×CD=BC×AF，
∴CD=BC．
∴平行四边形ABCD为菱形；

（2）解：如图2，此时菱形ABCD的面积最大．
设AB=x，EB=8-x，AE=2，则由勾股定理得到：2²+（8-x）²=x²，
解得 x=

17

4

，
S_最大=

17

4

×2=

17

2

；
如图3，此时菱形ABCD的面积最小．
S_最小=2×2=4．
综上所述，菱形面积最大和最小值分别是

17

2

、4．

点评：本题考查了菱形的性质，难度较大，解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和最小，然后根据图形列方程．