练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    9．已知：如图①，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3cm，BC=5cm，将△ABC绕AC中点旋转180°得△CDA，如图②，再将△CDA沿AC的方向以1cm/s的速度平移得到△NDP；同时，点Q从点C出发，沿CB方向以1cm/s的速度运动，当△NDP停止平移时，点Q也停止运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题．

    （1）当t为何值时，PQ∥AB？
    （2）设△PQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
    （3）是否存在某一时刻t，使S△QDC：S四边形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
    （4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥DQ？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）先根据勾股定理求AC=4，根据平移的性质和平行四边形的性质得：PQ∥AB，列比例式为$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$，代入可求t的值；
    （2）作辅助线，构建高线，利用面积法求AE的长，利用勾股定理计算CE的长，证明△CPF∽△CAE，列式可表示PF的长，根据面积公式计算y与t之间的函数关系式；
    （3）根据同底等高的两个三角形面积相等得：S△PQC=S△MQC，由已知得：S△MQC：S△ABC=1：5，把（2）中的式子代入可求t的值；
    （4）如图2，证明△MQP∽△PFQ，列比例式可求得：PQ2=PM×FQ，由勾股定理相结合得：PF2+FQ2=PM×FQ，代入列方程可得结论．

    解答 解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
    AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
    由平移性质可得MN∥AB；
    ∵PQ∥MN，
    ∴PQ∥AB，
    ∴$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$，即$\frac{4-t}{4}$=$\frac{t}{5}$，
    解得，t=$\frac{20}{9}$；
    （2）如图2，作PF⊥BC于点F，AE⊥BC于点E，
    由S△ABC=$\frac{1}{2}$AB×AC=$\frac{1}{2}$AE×BC可得，$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×5AE，
    ∴AE=$\frac{12}{5}$，
    由勾股定理得：CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
    ∵PF⊥BC，AE⊥BC，
    ∴AE∥PF，
    ∴△CPF∽△CAE，
    ∴$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CF}{CE}$=$\frac{PF}{AE}$，即$\frac{4-t}{4}$=$\frac{CF}{\frac{16}{5}}$=$\frac{PF}{\frac{12}{5}}$，
    解得，CF=$\frac{16-4t}{5}$，PF=$\frac{12-3t}{5}$，
    ∵PM∥BC，所以M到BC的距离h=PF=$\frac{12-3t}{5}$，
    ∴△QCM是面积y=$\frac{1}{2}$CQ×h=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{12-3t}{5}$=-$\frac{3}{10}$t2+6t；
    （3）∵PM∥BC，
    ∴S△PQC=S△MQC，
    ∵S△QMC：S四边形ABQP=1：4，
    ∴S△MQC：S△ABC=1：5，
    则5（-$\frac{3}{10}$t2+6t）=$\frac{1}{2}$×4×3，
    t2-4t+4=0，
    解得：t1=t2=2，
    ∴当t=2时，S△QMC：S四边形ABQP=1：4；
    （4）如图2，∵PQ⊥MQ，
    ∴∠MQP=∠PFQ=90°，
    ∵MP∥BC，
    ∴∠MPQ=∠PQF，
    ∴△MQP∽△PFQ，
    ∴$\frac{PM}{PQ}$=$\frac{PQ}{FQ}$，
    ∴PQ2=PM×FQ，
    即PF2+FQ2=PM×FQ，
    由CF=$\frac{16-4t}{5}$，得FQ=CF-CQ=$\frac{16-9t}{5}$，
    则（$\frac{12-3t}{5}$）2+（$\frac{16-9t}{5}$）2=5×$\frac{16-9t}{5}$，
    整理得2t2-3t=0，
    解得t1=0（舍），t2=$\frac{3}{2}$，
    答：当t=$\frac{3}{2}$时，PQ⊥MQ．

    点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、平移、勾股定理、相似三角形的性质和判定，根据平移的特点，确定等量关系是关键，可以利用相似列等量关系，也可以利用已知面积的比列等量关系，解方程可以解决问题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（0，3），顶点B在轴的正方向上，tan∠OBA=3，对角线AC，BD交于点P，射线OP交AB于点N，交DC于点M，点R从O出发沿OM方向以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度运动，运动时间为t．
    （1）求点D、点P的坐标；
    （2）t为何值时，△DMR与△ANO相似？
    （3）点R运动过程中，是否存在以点A，点B，点C，点R为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出相应t的值；若不存在．请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    20．在△ABC中，AB=AC=4，∠B=30°，点P是线段BC上一动点，则线段AP的长可能是（　　）
    A．1B．$\sqrt{2}$C．$\sqrt{3}$D．$\sqrt{5}$

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．先化简，再求值：$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}-2x+1}$÷（x+1+$\frac{1}{x-1}$），其中x=2018．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    4．如图，∠C=∠D=90°，AC=AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是（　　）
    A．HLB．SASC．ASAD．AAS

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    14．如果函数y=kx-2（k≠0）的图象不经过第一象限，那么函数y=$\frac{k}{x}$的图象一定在第二、四象限．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    1．长方形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，将长方形沿BO折叠，使点C落在点D处，DO与AB交于点E，BC=4cm，BA=8cm，则点E的坐标为（　　）
    A．（-3，4）B．（-3.5，4）C．（-3.7，4）D．（-4，4）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    18．下列计算错误的是（　　）
    A．-5-（+5）=-10B．-3+2=-1C．（-3）×（+5）=-15D．|-2|+（-4）=2

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    19．甲、乙两人在相邻两条直跑道上进行竞走比赛（注：跑道长50米，两人均往返一次，返回时转身的时间忽略不计），图中的折线OA-AB是甲离出发点的距离y（米）与比赛时间x（秒）的函数图象；线段OC是乙离出发点的距离y（米）与比赛时间x（秒）的函数图象，其中x≥0，线段OC与AB相交于点P．根据图象，解决下列问题：
    （1）求线段OC，AB对应的函数关系式，并写出相应的自变量x的取值范围；
    （2）直接写出点P的坐标，并说明点P的横、纵坐标的实际意义；
    （3）若乙往返时的速度相等且均为匀速运动，请在图中画出乙返回时的图象，并标明乙返回出发点的时间．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案