【题目】如图,已知ABC中∠A=60°,AB=2cm,AC=6cm,点P、Q分别是边AB、AC上的动点,点P从顶点A沿AB以1cm/s的速度向点B运动,同时点Q从顶点C沿CA以3cm/s的速度向点A运动,当点P到达点B时点P、Q都停止运动.设运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时AP=AQ;
(2)是否存在某一时刻使得△APQ是直角三角形,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)t=或
【解析】
(1)由AP=AQ可以列出关于t的方程t=6-3t,通过解该方程可以求得t的值;
(2)需要分类讨论:当∠APQ=90°和∠AQP=90°时,利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”列出关于t的方程,通过解方程来求t的值即可.
解:(1)由已知得:AP=t,CQ=3t,
∴AQ=6-3t,
∴t=6-3t,解得t=,
∴当t=时,AP=AQ;
(2)存在.分两种情况:
①当∠APQ=90°时,
∵∠A=60°,∴∠AQP=30°,
∴AQ=2AP,即6-3t=2t,解得t=;
②当∠AQP=90°时,
此时∠APQ=30°,
∴AP=2AQ,即t=2(6-3t),解得t=.
综上所述,当t=或时△APQ为直角三角形.
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【题目】在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,E、F 是对角线 AC 上的两个动点,分 别从 A、C 同时出发相向而行,速度均为每秒 1 个单位长度,运动时间为 t 秒,其中 0 t 5 .
(1)若 G,H 分别是 AB,DC 中点,求证:四边形 EGFH 是平行四边形(E、F 相遇时除外);
(2)在(1)条件下,若四边形 EGFH 为矩形,求 t 的值;
(3)若 G,H 分别是折线 A-B-C,C-D-A 上的动点,与 E,F 相同的速度同时出发,若 四边形 EGFH 为菱形,求 t 的值.
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【题目】抛物线经过点A(,0),B(,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
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【题目】学校田径运动会快要举行了,小刚用自己积攒的零花钱买了一双运动鞋,顺便想研究一下鞋码与脚的大小之间的关系,于是,小刚回家量了一下妈妈36码的鞋子,内长是23cm;量了爸爸42码的鞋子,内长是26cm;又量了自己刚买的鞋子,内长是24.5cm;然后,又看了看自己所买的鞋的鞋码,可是怎么也搞不懂一双鞋子的鞋码与其内长到底是什么关系,带着这个问题小刚去问数学老师,数学老师说:设鞋内长是xcm,这鞋子的号码是y,那么y是x的一次函数,请你写出这个一次函数关系式,并算一算小刚买了鞋是多少码?
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【题目】如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A、D、E在同一条直线上,BC和AE相交于点O,连接BE,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°。
(1)求证:AD=BE;
(2)求∠AEB。
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【题目】如图,在矩形ABCD中,已知AB=2,BC=1.5,矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2017次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是_______.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线交于点O,点E是菱形外一点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形DECO是矩形;
(2)连接AE交BD于点F,当∠ADB=30°,DE=2时,求AF的长度.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B90°,AB4,BC2,以AC为边作△ACE,∠ACE90°,AC=CE,延长BC至点D,使CD5,连接DE.求证:△ABC∽△CED.
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