Question

19．已知：如图，E是等腰三角形ABC的腰AC上的任意一点，ED⊥BC，垂足为D，延长DE交BA的延长线于点F．求证：点A在EF的垂直平分线上．

Answer 1

分析 由E是等腰三角形ABC的腰AC上的任意一点，根据等腰三角形的性质，可得∠B=∠C，又由ED⊥BC，根据等角的余角相等，可证得∠F=∠AEF，即可得AE=AF，则可判定点A在EF的垂直平分线上．

解答 证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠F+∠B=90°，∠AEF+∠C=∠DEC+∠C=90°，
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质与判定．注意证得△AEF是等腰三角形是关键．