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如图1,AB是⊙O的直径,直线l交⊙O于C1、C2,AD⊥l,垂足为D.
(1)求证:AC1•AC2=AB•AD.
(2)若将直线l向上平移(如图2),交⊙O于C1、C2,使弦C1C2与直径AB相交(交点不与A、B重合),其他条件不变,请你猜想,AC1、AC2、AB、AD之间的关系,并说明理由.
(3)若将直线l平移到与⊙O相切时,切点为C,其他条件不变,请你在图3上画出变化后的图形,标好相应的字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么?(只写出关系,不加以说明)
【答案】分析:(1)本题要通过构建相似三角形来求解.连接AC1、BC2,通过证△ABC2∽△AC1D可得出所求结论.(所证的两个三角形中,同弧对的圆周角相等以及一组直角);
(2)结论同(1)也是通过证△ABC2∽△AC1D来得出所求结论;
(3)当直线l与圆相切时,C1、C2重合,因此结论变为AC2=AB•AD,可通过证三角形ABC和ACD相似,通过弦切角和一组直角来证得两三角形相似.
解答:(1)证明:连接BC2
∵AB为直径,∴∠BC2A=90度.
∵AD⊥l,即∠ADC1=90°,
∴∠BC2A=∠ADC1
又∵∠B=∠AC1D,
∴△ABC2∽△AC1D.

∴AC1•AC2=AB•AD.

(2)解:当l向上平移后,连接BC2
∵AB为直径,
∴∠BC2A=90度.
∵AD⊥l,即∠ADC1=90°,
∴∠BC2A=∠ADC1
又∵∠B=∠AC1D,
∴△ABC2∽△AC1D.

∴AC1•AC2=AB•AD.

(3)解:AC2=AB•AD.
画草图.

点评:本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定和性质.根据相似三角形来求线段成比例是解题的基本思路.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

34、关于图形变化的探讨:
(1)①例题1.如图1,AB是⊙O的直径,直线l与⊙O有一个公共点C,过A、B分别作l的垂线,垂足为E、F,则EC=CF.
②上题中,当直线l向上平行移动时,与⊙O有了两个交点C1、C2,其它条件不变,如图2,经过推证,我们会得到与原题相应的结论:EC1=C2F.
③把直线1继续向上平行移动,使弦C1C2与AB交于点P(P不与A,B重合).在其它条件不变的情况下,请你在图3的圆中将变化后的图形画出来,标好对应的字母,并写出与①②相应的结论等式.判断你写的结论是否成立,若不成立,说明理由,若成立,给以证明.结论
EC1=C2F
.证明结论成立或说明不成立的理由
(2)①例题2.如图4,BC是⊙O的直径.直线1是过C点的切线.N是⊙O上一点,直线BN交1于点M.过N点的切线交1于点P,则PM2=PC2
②把例题2中的直线1向上平行移动,使之与⊙O相交,且与直线BN交于B、N两点之间.其它条件仍然不变,请你利用图5的圆把变化后的图形画出来,标好相应的字母,并写出与①相应的结论等积式,判断你写的结论是否成立,若不成立,说明理由,若成立,给以证明.结论
PM2=PC1•PC2
.证明结论成立或说明不成立的理由:
(3)总结:请你通过(1)、(2)的事实,用简练的语言,总结出某些几何图形的一个变化规律
在某些几何图形中,平行移动某条直线,有些几何关系保持不变.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,AB是⊙O的直径,直线l交⊙O于C1、C2,AD⊥l,垂足为D.
(1)求证:AC1•AC2=AB•AD.
(2)若将直线l向上平移(如图2),交⊙O于C1、C2,使弦C1C2与直径AB相交(交点不与A、B重合),其他条件不变,请你猜想,AC1、AC2、AB、AD之间的关系,并说明理由.
(3)若将直线l平移到与⊙O相切时,切点为C,其他条件不变,请你在图3上画出变化后的图形,标好相应的字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么?(只写出关系,不加以说明)精英家教网

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如图,若AB是⊙0的直径,CD是⊙O的弦,∠C=30°,BD=1,则⊙O的半径是(  )

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(2013•海沧区一模)如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=50°,则∠BCD=
40°
40°

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如图,弦AB是⊙O的内接正方形的一条边,则弦AB所对的圆周角的度数为
45°或135°
45°或135°

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