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6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,点D为AC边上的动点,点D从点C出发,沿边CA往A运动,当运动到点A时停止,若设点D运动的时间为t秒,点D运动的速度为每秒2个单位长度.当t=$\frac{5}{2}$或3或3.6时,△CBD是等腰三角形.

分析 根据等腰三角形的定义,可分①CD=BD时,过点D作DE⊥BC于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE,从而得到CD=AD;②CD=BC时,CD=6;③BD=BC时,过点B作BF⊥AC于F,根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF,再由(2)的结论解答

解答 解:∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}{+6}^{2}}$=10,
若使△CBD是等腰三角形可分以下情况:
①当CD=BD时,如图1,过点D作DE⊥BC于E,
则CE=BE,
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×10=5,
t=5÷2=$\frac{5}{2}$;
②当CD=BC时,CD=6,t=6÷2=3;
③当BD=BC时,如图2,过点B作BF⊥AC于F,
∴AB•BC=BF•AC,CF=DF,
即8×6=10BF,
∴BF=4.8,
∴CF=$\sqrt{{BC}^{2}{-BF}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{-4.8}^{2}}$=3.6,
∴CD=7.2,
∴t=7.2÷2=3.6,
综上所述,t=$\frac{5}{2}$秒或3秒或3.6秒时,△CBD是等腰三角形.

点评 本题考查了勾股定理,等腰三角形的判定与性质,直角三角形的面积,分类讨论是解决本题的关键.

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