Question

3．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m．
（1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．
（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？

Answer 1

分析 （1）过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案；
（2）根据已知条件求出BF的长，再根据勾股定理求出OA的长，从而得出答案．

解答 解：（1）如图，M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
CD=MN=1.6米，AB=2米，
由作法得，CE=DE=0.8米，
又∵OC=OA=1米，
在Rt△OCE中，OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$≈0.6（米），
∴CM=2.3+0.6=2.9＞2.5．
∴这辆卡车能通过．
（2）如图：
根据题意可知：CG=BE=2.8米，BG=OF=1.2米，EF=AD=2.3米，
∴BF=0.5米
∴根据勾股定理有：OA²=OB²=BF²+OF²=0.5²+1.2²=1.3（米），
∴OA=1.3米，
∴桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6（米）．

点评 本题考查了垂径定理和勾股定理：掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．