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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，等边△ABC的边长为2，动点P，Q在线段BC上移动（都不与B，C重合），点P在Q的左精英家教网边，PQ=1，过点P作PM⊥CB，交AC于M，过点Q作QN⊥CB，交AB于N，连接MN．记CP的长为t．
    （1）当t为何值时，四边形MPQN是矩形？
    （2）设四边形MPQN的面积为S，请说明当P，Q移动时，S是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请求出S关于t的函数关系式；
    （3）当t取何值时，以点C，P，M为顶点的三角形与以A，M，N为顶点的三角形相似．判断此时△MNP的形状，并请说出理由．
    分析：（1）可用两种方法：
    ①根据△ABC是等边三角形及PM⊥CB，QN⊥CB且PM=NQ，得出△MPC≌△NQB，从而求出t的值；
    ②由于四边形MPQN是矩形，所以在MPQN中PM=NQ，据此列出关于t的等式，解方程即可．
    （2）根据（1）中所求PM、QN的表达式，利用梯形面积表达式即可求出S关于t的函数关系式；
    （3）根据对应点和对应边的不同，会得到不同的相似三角形，再分两种情况讨论．
    解答：解：（1）解法一：∵四边形MPQN是矩形，
    ∴PM=NQ，（1分）
    ∵△ABC是等边三角形，
    ∴∠B=∠C=60°，
    又∵PM⊥CB，QN⊥CB，
    ∴∠MPC=∠NQB=90°，
    ∴△MPC≌△NQB，
    ∴CP=BQ=t，
    又∵PQ=1，CP+PQ+BQ=2，
    ∴t+1+t=2，即t=
    1
    2
    ；
    解法二：∵△ABC是等边三角形，PM⊥CB，QN⊥CB，
    ∴∠B=∠C=60°，
    在Rt△CPM和Rt△BQN中，
    ∵CP=t，BQ=1-t，
    ∴PM=CP•tanC=t•tan60°=
    		3
    t，
    QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=
    		3
    （1-t），
    ∵四边形MPQN是矩形，
    ∴PM=NQ，（1分）
    即：
    		3
    t=(1-t)
    		3
    ，
    解得：t=
    1
    2
    ；

    （2）S是定值，同（1）中解法二有：∴PM=
    		3
    t，QN=(1-t)
    		3
    ，
    ∴SMPNQ=
    1
    2
    ×1×[
    		3
    t+(1-t)
    		3
    ]=
    		3
    2
    ；（2分）

    （3）∵△CMP是Rt△，且∠CPM=90°，∠C=60°，△AMN中∠A=60°，
    若使△CMP与△AMN相似，对应的顶点只能是：C→A，P→N，M→M或C→A，P→M，M→N，（1分）
    ①当C→A，P→N，M→M时，由△CMP∽△AMN精英家教网得：
    ∵CM=2t，BN=2（1-t）
    ∴AM=2-2t，AN=2-2（1-t）=2t，
    ∴
    t
    2t
    =
    2t
    2-2t
    ，
    解得：t=
    1
    3
    ；（1分）
    ②当C→A，P→M，M→N时，由△CMP∽△ANM得：
    CP
    AM
    =
    CM
    AN
    ，
    ∴
    t
    2-2t
    =
    2t
    2t
    ，解得：t=
    2
    3
    ，
    综合，所求t=
    1
    3
    或
    2
    3
    ．
    当t=
    2
    3
    时，都有AM=CP=BN，AN=CM=BP，
    且∠A=∠B=∠C=60°，
    ∴△ANM≌△CMP≌△BPN，
    ∴NM=MP=PN即△MNP是等边三角形．
    点评：此题是一道动点问题，解题的关键是充分利用相似三角形的性质和矩形的性质列出关于t的等式解答．
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    ．

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