Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，BC=5，点M是边CD的中点，连接AM、BM．
求：（1）△ABM的面积；
（2）∠MBC的正弦值．

Answer 1

分析：（1）首先作辅助线：延长AM交BC的延长线于点N，然后利用梯形的性质，即可证得△ADM≌△NCM（AAS），根据全等三角形的性质，即可求得CN的长，即可求得Rt△ABN的面积，则可求得△ABM的面积；
（2）作辅助线：过点M作MK⊥BC，构造Rt△BKM，即可求得∠MBC的正弦值．

解答：解：（1）延长AM交BC的延长线于点N，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，
∵点M是边CD的中点，
∴DM=CM，
∴△ADM≌△NCM（AAS），
∴CN=AD=3，AM=MN=

1

2

AN，
∴BN=BC+CN=5+3=8，
∵∠ABC=90°，
∴S_△ABN=

1

2

×AB•BN=

1

2

×4×8=16，
∴S_△ABM=

1

2

S_△ABN=8；
∴△ABM的面积为8；

（2）过点M作MK⊥BC，
∵∠ABC=90°，
∴MK∥AB，
∴△NMK∽△NAB，
∴

MK

AB

=

MN

AN

=

1

2

，
∴MK=

1

2

AB=2，
在Rt△ABN中，AN=

AB2+BN2

=

42+82

=4

5

，
∴BM=

1

2

AN=2

5

，
在Rt△BKM中，sin∠MBC=

MK

BM

=

2

2 5

=

5

5

．
∴∠MBC的正弦值为

5

5

．

点评：此题考查了梯形的性质与全等三角形的判定与性质，以及勾股定理、三角函数等．此题综合性比较强，解题时合理选择辅助线是解题的关键，所以同学们应该多做积累．