Question

一个多面体的面数（a）和这个多面体表面展开后得到的平面图形的顶点数（b），棱数（c）之间存在一定规律，如图1是正三棱柱的表面展开图，它原有5个面，展开后有10个顶点（重合的顶点只算一个），14条棱．

【探索发现】
（1）请在图2中用实线画出立方体的一种表面展开图；
（2）请根据图2你所画的图和图3的四棱锥表面展开图填写下表：

多面体	面数a	展开图的顶点数b	展开图的棱数c
直三棱柱	5	10	14
四棱锥	5	8	12
立方体	6	14	19

（3）发现：多面体的面数（a）、表面展开图的顶点数（b）、棱数（c）之间存在的关系式是

a+b-c=1

；
【解决问题】
（4）已知一个多面体表面展开图有17条棱，且展开图的顶点数比原多面体的面数多2，则这个多面体的面数是多少？

Answer 1

分析：（1）利用立方体侧面展开图的特点得出即可；
（2）利用图形特点分别得出面数、顶点数、棱数即可；
（3）结合（2）中数据即可得出a，b，c之间的关系；
（4）利用已知得出方程组求出即可．

解答：解：（1）如图所示：


（2）如图表：

多面体	面数a	展开图的顶点数b	展开图的棱数c
直三棱柱	5	10	14
四棱锥	5	8	12
立方体	6	14	19

（3）由图表中数据可得出：a+b-c=1．
故答案为：a+b-c=1．

（4）由题意可得出：

b-a=2 a+b-17=1

，
解得：

a=8 b=10

．
答：这个多面体的面数是八面体．

点评：此题考查了几何体的展开图，利用图形中数据变化规律是解题关键．