【题目】如图,在矩形中,,为边上一点,,连接.动点从点同时出发,点以的速度沿向终点运动;点以的速度沿折线向终点运动.设点运动的时间为,在运动过程中,点,点经过的路线与线段围成的图形面积为.
⑴________,________°;
⑵求关于的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
⑶当时,直接写出的值.
【答案】(1),45;(2)(),(),();(3)或.
【解析】
(1)由勾股定理可求AE的长,由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数;
(2)分三种情况讨论,由面积和差关系可求解;
(3)分三种情况讨论,由勾股定理可求解.
解:(1)∵AB=3cm,BE=AB=3cm,
∴AE=cm,∠BAE=∠BEA=45°,
∵∠BAD=90°,
∴∠DAE=45°
故答案为:3,45;
(2)当0<x≤2时,如图,过点P作PF⊥AD,
∵AP=x,∠DAE=45°,PF⊥AD,
∴PF=x=AF,
∴y=S△PQA=×AQ×PF=x2;
(2)当2<x≤3时,如图,过点P作PF⊥AD,
∵PF=AF=x,QD=2x-4,
∴DF=4-x,
∴y=x2+(2x-4+x)(4-x)=-x2+8x-8;
当3<x≤时,如图,点P与点E重合.
∵CQ=(3+4)-2x=7-2x,CE=4-3=1cm,
∴y=(1+4)×3-(7-2x)×1=x+4;
(3)当0<x≤2时,
∵QF=AF=x,PF⊥AD,
∴PQ=AP.
∵PQ=cm,
∴x=,
∴x=;
当2<x≤3时,过点P作PM⊥CD,
∴四边形MPFD是矩形,
∴PM=DF=4-2x,MD=PF=x,
∴MQ=x-(2x-4)=4-x.
∵MP2+MQ2=PQ2,
∴(4-2x)2+(4-x)2=,
∵△<0,
∴方程无解,
当3<x≤时,
∵PQ2=CP2+CQ2,
∴=1+(7-2x)2,
∴x=,
综上所述:x=或.
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【题目】某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号,他们将其中某些材料摘录如下:
对于三个实,数,,,用表示这三个数的平均数,用表示这三个数中最小的数,例如=4,,.请结合上述材料,解决下列问题:
(1)①_____,
②_____;
(2)若,则的取值范围为_____;
(3)若,求的值;
(4)如果,求的值.
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【题目】甲、乙两个工程队需完成A、B两个工地的工程.若甲、乙两个工程队分别可提供40个和50个标准工作量,完成A、B两个工地的工程分别需要70个和20个标准工作量,且两个工程队在A、B两个工地的1个标准工作量的成本如下表所示:
A工地 | B工地 | |
甲工程队 | 800元 | 750元 |
乙工程队 | 600元 | 570元 |
设甲工程队在A工地投入x(20≤x≤40)个标准工作量,完成这两个工程共需成本y元.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)请判断y是否能等于62000,并说明理由.
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【题目】已知∠ACB=90°,∠CAB=a,且sina=,I为内心,则△ABC的内切圆半径r与△BIC的外接圆半径R之比为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图1,抛物线y=ax2+2ax+c与x轴交于A(-3,0)、B两点,与y轴交于C点,△ABC的面积为6,抛物线顶点为M.
(1)如图1,求抛物线的解析式;
(2)如图2,直线y=kx+k-3与抛物线交于P、Q两点(P点在Q点左侧),问在y轴上是否存在点N,使四边形PMQN为矩形?若存在,求N点坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图3,若D为抛物线上任意一点,E(-1,s)为对称轴上一点,若对任意一点D都有ED≥EM,求s的最大值及相应E点坐标.
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【题目】如图,在直角坐标系中,直线与轴,轴分别交于点,点,对称轴为的抛物线过两点,且交轴于另一点,连接.
(1)直接写出点,点,点的坐标和抛物线的解析式;
(2)已知点为第一象限内抛物线上一点,当点到直线的距离最大时,求点的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点(点除外),使以点,,为顶点的三角形与相似?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某村2016年的人均收入为20000元,2018年的人均收入为24200元
(1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率;
(2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2019年村该村的人均收入是多少元?
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【题目】已知抛物线(为常数,),其对称轴是,与轴的一个交点在,之间.有下列结论:①;②;③若此抛物线过和两点,则,其中,正确结论的个数为( )
A.B.C.D.
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