Question

【题目】如图，在矩形中，，为边上一点，，连接．动点从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为，在运动过程中，点，点经过的路线与线段围成的图形面积为．

⑴________,________°；

⑵求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

⑶当时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1），45；（2）（），（），（）；（3）或.

【解析】

（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；

（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；

（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．

解：（1）∵AB=3cm，BE=AB=3cm，

∴AE=cm，∠BAE=∠BEA=45°，

∵∠BAD=90°，

∴∠DAE=45°

故答案为：3，45；

（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，

∵AP=x，∠DAE=45°，PF⊥AD，

∴PF=x=AF，

∴y=S△PQA=×AQ×PF=x2；

（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，

∵PF=AF=x，QD=2x-4，

∴DF=4-x，

∴y=x2+（2x-4+x）（4-x）=-x2+8x-8；

当3＜x≤时，如图，点P与点E重合．

∵CQ=（3+4）-2x=7-2x，CE=4-3=1cm，

∴y=（1+4）×3-（7-2x）×1=x+4；

（3）当0＜x≤2时，

∵QF=AF=x，PF⊥AD，

∴PQ=AP.

∵PQ=cm，

∴x=，

∴x=；

当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD，

∴四边形MPFD是矩形，

∴PM=DF=4-2x，MD=PF=x，

∴MQ=x-（2x-4）=4-x.

∵MP2+MQ2=PQ2，

∴（4-2x）2+（4-x）2=，

∵△＜0，

∴方程无解，

当3＜x≤时，

∵PQ2=CP2+CQ2，

∴=1+（7-2x）2，

∴x=，

综上所述：x=或.