Question

4．如图，点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于E、F，求证：AF²=EF•FG．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是平行四边形可得AB∥DC，AD∥BC，从而可得△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，则有$\frac{FD}{FB}$=$\frac{FG}{FA}$，$\frac{AF}{EF}$=$\frac{FD}{FB}$，就有$\frac{FG}{FA}$=$\frac{AF}{EF}$，即AF²=EF•FG．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，
∴$\frac{FD}{FB}$=$\frac{FG}{FA}$，$\frac{AF}{EF}$=$\frac{FD}{FB}$，
∴$\frac{FG}{FA}$=$\frac{AF}{EF}$，
∴AF²=EF•FG．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等量代换等知识，把证明$\frac{FG}{FA}$=$\frac{AF}{EF}$转化为证明$\frac{FD}{FB}$=$\frac{FG}{FA}$，$\frac{AF}{EF}$=$\frac{FD}{FB}$是解决本题的关键．