Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=2AC, 点D在BC上，且∠CAD=∠B，点E是AB的中点，联结CE与AD交于点G,点F在BC上，且∠CEF=∠BAC.

(1)若∠BAC=90°,如图1,求证: EG+ EF=AC;

(2)若∠BAC=120°,如图2,请猜想线段EG，EF和AC之间的数量关系并证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），证明见解析

【解析】

（1）首先根据∠BAC=90°, ∠CEF=∠BAC得出∠CEF=90°，进而得出∠AEC+∠BEF=90°，又由AB=2AC, 点E是AB的中点，得出AC=AE=BE，进而得出∠ACE=∠AEC=45°，CE=，∠BEF=45°，再由∠CAD=∠B，得出∠B+∠ACB=∠CAD+∠ACB=90°，进而得出∠ADC=90°，即可判定△ACG≌△BEF，得出CG=EF，即可得出EG+ EF=AC；

（2）首先过点A作AH⊥EC，由∠BAC=120°, ∠CEF=∠BAC，得出∠CEF=120°，进而得出∠AEC+∠BEF=60°，又由AB=2AC, 点E是AB的中点，得出AC=AE=BE，进而得出∠ACE=∠AEC=30°，∠BEF=30°，可判定△ACG≌△BEF，得出CG=EF，又由AH⊥EC，得出EH=CH=EC=，即可得出.

（1）∵∠BAC=90°, ∠CEF=∠BAC

∴∠CEF=90°

∴∠AEC+∠BEF=90°

又∵AB=2AC, 点E是AB的中点，

∴AC=AE=BE

∴∠ACE=∠AEC=45°，CE=

∴∠BEF=45°

又∵∠CAD=∠B，

∴∠B+∠ACB=∠CAD+∠ACB=90°

∴∠ADC=90°

在△ACG和△BEF中，

∴△ACG≌△BEF（ASA）

∴CG=EF

∴EG+ EF=AC

（2）

过点A作AH⊥EC，交CE于点H，如图所示

∵∠BAC=120°, ∠CEF=∠BAC

∴∠CEF=120°

∴∠AEC+∠BEF=60°

又∵AB=2AC, 点E是AB的中点，

∴AC=AE=BE

∴∠ACE=∠AEC=30°，

∴∠BEF=30°

在△ACG和△BEF中，

∴△ACG≌△BEF（ASA）

∴CG=EF

又∵AH⊥EC，

∴EH=CH=EC=

∴