Question

如图，一条抛物线y=

1

4

x2+m（m＜0）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）．若点M、N的坐标分别为（0，-2）、（4，0），抛物线与直线MN始终有交点，线段AB的长度的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：根据待定系数法可求直线MN的解析式，把y=

1

2

x-2，代入抛物线y=

1

4

x2+m（m＜0），可得

1

2

x-2=

1

4

x²+m，根据根的判别式可得关于m的方程，求得抛物线的解析式，再令y=0，得到

1

4

x²-

7

4

=0，解方程得到A、B的坐标，从而得到线段AB的长度的最小值．

解答：解：设直线MN的解析式为y=kx+b，则

b=-2 4k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=-2

．
故直线MN的解析式为y=

1

2

x-2，
把y=

1

2

x-2，代入抛物线y=

1

4

x2+m（m＜0），可得

1

2

x-2=

1

4

x²+m，即

1

4

x²-

1

2

x+（m+2）=0，
△=（-

1

2

）²-4×

1

4

×（m+2）=0，
解得m=-

7

4

，
则抛物线y=

1

4

x2+m（m＜0）为y=

1

4

x²-

7

4

，
当

1

4

x²-

7

4

=0时，解得x₁=-

7

，x₂=

7

故A、B的坐标分别为（-

7

，0）、（

7

，0），
则线段AB的长度的最小值为2

7

．
故答案为：2

7

．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法可求直线MN的解析式，根的判别式，方程思想，求抛物线的解析式，坐标轴上的坐标特征，两点间的距离公式．综合性较强，难度中等．