Question

【题目】如图所示，M、N、P在第二象限，横坐标分别是﹣4、﹣2、﹣1，双曲线y＝过M、N、P三点，且MN＝NP．

（1）求双曲线的解析式；

（2）过P点的直线l交x轴于A，交y轴于B，且PA＝4AB，且交y＝于另一点Q，求Q点坐标；

（3）以PN为边（顺时针方向）作正方形PNEF，平移正方形使N落在x轴上，点P、E对应的点P′、E'正好落在反比例函数y＝上，求F对应点F′的坐标．

Answer 1

【答案】（1）双曲线的解析式为y＝﹣；（2）Q（，﹣5）；（3）点F′的坐标为（﹣5，3）．

【解析】

（1）先表示出点M，N，P的坐标，进而得出MN2，NP2，建立方程求解，即可得出结论；

（2）分点A在x轴的正半轴或负半轴上，判断出△AOB∽∠PQB，得出比例式，即可得出结论；

（3）先确定出点E，F坐标，设出点N'的坐标，进而得出点E'，F'，P'的坐标，即可得出结论．

（1）∵双曲线y＝过M、N、P三点，

∴M（﹣4，﹣），N（﹣2，﹣），P（﹣1，﹣k），

∴MN2＝[（﹣4﹣（﹣2）]2+[（﹣）﹣（﹣）]2＝4+，NP2＝1+，

∵MN＝NP，

∴MN2＝NP2，

∴4+＝1+，

∴k＝﹣4或k＝4（由于点P在第二象限，不符合题意，舍去），

∴双曲线的解析式为y＝﹣；

（2）由（1）知，双曲线的解析式为y＝﹣①，

由（1）知，k＝﹣4，

∴P（﹣1，4），

如图1，过点P作PQ⊥y轴于Q，则PQ＝1，

Ⅰ、当点A在x轴正半轴时，

∵PA＝4AB，

∴PB＝3AB，

∵PQ⊥y轴，OA⊥y轴，

∴OA∥PQ，

∴△AOB∽∠PQB，

∴，

∴＝，

∴OA＝，

∴A（，0），

∵P（﹣1，4），

∴直线PA的解析式为y＝﹣3x+1②，

联立①②解得，或，

∴Q（，﹣3），

Ⅱ、当点A在x轴负半轴上，

∵PA'＝A'B'，

∴PB'＝5A'B'，

同（Ⅰ）的方法得，△A'OB'∽△PQB'，

∴，

∴，

∴OA'＝，

∴A'（﹣，0），

∴直线PA'的解析式为y＝﹣5x﹣1③，

联立①③解得，或，

∴Q（，﹣5）；

（3）如图2，由（1）知，k＝﹣4，

∴P（﹣1，4），N（﹣2，2），

∵四边形PNEF是正方形，

∴EN＝PN，∠PNE＝90°，

过点N作y轴的平行线交过点P作x轴的平行线于G，过点E作EH⊥NG于H，

∴∠EHN＝∠NGP＝90°，

∴∠HEN+∠ENH＝90°，∠ENH+∠PNG＝90°，

∴∠HEN＝∠GNP，

∴△EHN≌△NGP（AAS），

∴NH＝PG＝|﹣2﹣（﹣1）|＝1，EH＝NG＝|4﹣2|＝2，

∴E（﹣4，3），

同理：F（﹣3，5），

记点N平移到x轴的N'位置，设N'（m，0），

∵N（﹣1，4），

∴点N向左平移（﹣2﹣m）个单位，再向下平移2个单位，

∴点P，E，F也向左平移（﹣2﹣m）个单位，再向下平移2个单位，得到点P'（m+1，2），E'（m﹣2，1），F'（m﹣1，3），

∴点P′、E'正好落在反比例函数y＝上，

∴b＝2（m+1）＝m﹣2，

∴m＝﹣4，

∴F'（﹣5，3），

即F对应点F′的坐标为（﹣5，3）．