Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．
（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；
（2）求这个二次函数关系式；
（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？

Answer 1

分析：（1）根据点C的坐标求出OC、BC的长度，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可定的AC=BC，然后求出OA的长度，从而得到点A的坐标，再根据∠OAD=45°求出OD=OA，从而得到点D的坐标；
（2）利用顶点式设出二次函数解析式，然后把点B、D的坐标代入，根据待定系数法求解即可；
（3）根据抛物线解析式设出点Q的坐标，然后过点Q作QM⊥AC于点M，再根据S_{四边形ABQP}=S_△ABC-S_△PQM-S_梯形BCMQ，然后根据三角形的面积公式以及梯形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可．

解答：解：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m，
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC=m，OA=m-3，
∴点A的坐标是（3-m，0），
∵∠ODA=∠OAD=45°，
∴OD=OA=m-3，
则点D的坐标是（0，m-3）；

（2）又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，
将D，B坐标代入：a（3-1）²=m，a（0-1）²=m-3，
得：a=1，m=4，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1，
B坐标（3，4），A（-1，0）；

（3）如图，过点Q作QM⊥AC于点M，设点Q的坐标是（x，x²-2x+1），
则PM=（x-1），QM=x²-2x+1，MC=（3-x），
∴S_{四边形ABQP}=S_△ABC-S_△PQM-S_梯形BCMQ，
=

1

2

×4×4-

1

2

•（x-1）•（ x²-2x+1）-

1

2

•（3-x）•（ x²-2x+1+4）
=-x²+4x+1
=-（x-2）²+5，
所以当x=2时，四边形ABQP的面积最大为5．

点评：本题是对二次函数的综合考查，点的坐标，等腰直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，以及三角形的面积，梯形的面积公式，难点在于用字母表示数，以及利用“割补法”求不规则图形的面积，需熟练掌握．