Question

1．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：

x（件）	…	5	10	15	20	…
y（元/件）	…	75	70	65	60	…

（1）由题意知商品的最低销售单价是50元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？

Answer 1

分析 （1）由40（1+25%）即可得出最低销售单价；根据题意由待定系数法求出y与x的函数关系式和x的取值范围；
（2）设所获利润为P元，由题意得出P是x的二次函数，即可得出结果．

解答 解：（1）40（1+25%）=50（元），
故答案为：50；
设y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}75=5k+b\\ 70=10k+b\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=80，
∴y=-x+80，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{-x+80≥50}\end{array}\right.$，且x为正整数，
∴0＜x≤30，x为正整数，
∴y=-x+80（0≤x≤30，且x为正整数）
（2）设所获利润为P元，根据题意得：
P=（y-40）•x=（-x+80-40）x=-（x-20）²+400，
即P是x的二次函数，
∵a=-1＜0，
∴P有最大值，
∴当x=20时，P_最大值=400，此时y=60，
∴当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为400元．

点评 本题考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的最值问题；由题意求出一次函数和二次函数的解析式是解决问题的关键．