Question

如图，矩形ABCD，∠DAB的平分线交DC于点G，O是AG的中点，⊙O与DG相切，切点为E，
（1）求证：E点是DG的中点；
（2）求证：AD是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,矩形的性质

专题：证明题

分析：（1）连结OE，根据切线的性质得OE⊥DC，而∠D=90°，则OE∥AD，由于O是AG的中点，于是可判断OE为△ADG的中位线，得到E点是DG的中点；
（2）作OH⊥AD于H，同样得OH为△ADG的中位线，则OH=

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2

DG，而OE=

1

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AD，再由AG平分∠DAB得到∠DAG=45°，于是判断△ADG为等腰直角三角形，得到AD=GD，所以OH=OE，然后根据切线的判定得到AD是⊙O的切线．

解答：证明：（1）连结OE，如图，
∵⊙O与DG相切，切点为E，
∴OE⊥DC，
∵∠D=90°，
∴OE∥AD，
∵O是AG的中点，
∴OE为△ADG的中位线，
∴E点是DG的中点；

（2）作OH⊥AD于H，如图，
则OH为△ADG的中位线，
∴OH=

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2

DG，
而OE=

1

2

AD，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=45°，
∴△ADG为等腰直角三角形，
∴AD=GD，
∴OH=OE，
∴AD是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了矩形的性质．