Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线交于A, B两点，其中点A在x轴上.

（1）用含有b的代数式表示c；

（2）① 若点B在第一象限，且，求抛物线的解析式；

② 若，结合函数图象，直接写出b的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）c=b-1；

（2）①抛物线的解析式为；② 或.

【解析】

(1)由题意直线y=x+1与x轴交于点A，可得出点A坐标 ，又因抛物线y=x2+bx+c经过点A，所以将点A坐标代入抛物线解析式可解得.

（2）①由y=x+1可推得∠OAC=45.

如图，已知AB=3，

Rt△ABD中,利用勾股定理可解出AD=BD=3,所以点B的坐标为(2,3) .

将点B的坐标(2,3)代入抛物线y=x2+bx+c的解析式可得2b+c=-1.

并与（1）中得到的c=b-1联立方程组并解出方程组可得b,c的值,带入得到

抛物线的解析式.

②因为，结合函数图象，可直接得出b的取值范围.或.

解：（1）由题意直线y=x+1与x轴交于点A

可得点A坐标为(-1,0)

又因抛物线y=x2+bx+c经过点A

所以将点A坐标(-1,0)代入抛物线解析式可得

1-b+c=0，即c=b-1.

（2）①设y=x+1与y轴交于点C，可得

A (-1,0)，C (0,1).

可知OA=OC=1.

又因∠AOC=90,

所以∠OAC=45.

如图，已知AB=3，过B作BD⊥x轴于点D,

易知∠ADB=90.

又因∠BAD=45，AB=3，

所以AD=BD=3.

所以点B的坐标为(2,3) .

将点B的坐标(2,3)代入抛物线y=x2+bx+c的解析式可得2b+c=-1.

并与（1）中得到的c=b-1联立方程组可得：

解得

得抛物线的解析式为.

②因为，由函数图象（1）得， 对称轴 即b≤0.

由函数图象（2）得， 对称轴 即b≥6.

所以可得出b的取值范围或.