Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系

(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，)，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．

①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范直范围是_____；

②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；

(2)如图2，⊙O的半径为1，直线(b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；

(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①，，，②O；（2）；（3）0＜r≤3．

【解析】

（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．

（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），分三种情形：①线段FG在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG 与⊙O没有交点，分别构建不等式求解即可．

（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可．

（1）①如图1中，

∵D（-1，0），E(0，)，

∴OD=1，，

∴，

∴∠EDO=60°，

当OP⊥DE时，，此时OP的值最小，

当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为，

当CP⊥DE时，CP的值最小，最小值，

当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2，

故答案为：，，.

②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM=2ON，

故点O与线段DE满足限距关系．

故答案为O．

（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），

当0＜b＜1时，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，

此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b，

∵线段FG与⊙O满足限距关系，

∴1+b≥2（1-b），

解得，

∴b的取值范围为．

当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，

当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，

此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为，最大距离为b+1，

∵线段FG与⊙O满足限距关系，

∴，

而总成立，

∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为．

（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，

两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，

∵⊙H和⊙K都满足限距关系，

∴2r+2≥2（2r-2），

解得r≤3，

故r的取值范围为0＜r≤3．