Question

已知a是方程x²-3x+1=0的根，求代数式2a2-5a+2+

3

a2+1

的值．

Answer 1

分析：根据方程的根的定义可得：a²-3a+1=0，则a²-3a=-1，a²+1=3a．因而2a2-5a+2+

3

a2+1

=2（a²-3a）+a+2+

3

3a

=-2+a+2+

1

a

=a+

1

a

．然后解方程即可求得x的值，代入a+

1

a

即可求得代数式的值．

解答：解：∵a是方程x²-3x+1=0的根，
∴a²-3a+1=0，
∴a²-3a=-1，a²+1=3a．
∴2a2-5a+2+

3

a2+1

=2（a²-3a）+a+2+

3

3a

=-2+a+2+

1

a

=a+

1

a

．
解方程x²-3x+1=0得：x=

3± 5

2

，
∵

3+ 5

2

=

1

3- 5 2

，即方程的两个根互为倒数．
∴原式=a+

1

a

=

3+ 5

2

+

3- 5

2

=3．

点评：本题考查了方程的解的定义，以及代数式的化简求值，正确把所求的式子变形成a+

1

a

，并且注意到方程的两个根的倒数关系是解题的关键．