Question

15．已知如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE的延长线上截取BM=AC，在CF的延长线上截取CN=AB，请说明：
（1）AM=AN．
（2）AM⊥AN．

Answer 1

分析 （1）欲证明AM=AN，只要证明AMB≌△NAC即可．
（2）由△AMB≌△NAC，推出∠BAM=∠N，由∠N+∠NAF=90°即可推出∠BAM+∠NAF=90°，由此即可解决问题．

解答 证明：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∴∠ABE=∠ACF=90°-∠BAC，
在△AMB和△ANC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=AC}&{\;}\\{∠ABE=∠ACF}&{\;}\\{AB=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△NAC（SAS），
∴AM=AN；
（2）∵△AMB≌△NAC，
∴∠BAM=∠N，
∵∠N+∠NAF=90°，
∴∠BAM+∠NAF=90°，
∴∠MAN=90°，
∴AM⊥AN．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形内角和定理的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．