Question

6．如图，矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=9，点E在BC边上，BE=4，点F，G在线段AD上运动（点F在点G的左侧），且始终保持FG=BE．
（1）求证：四边形BEGF是平行四边形；
（2）当四边形BEGF是菱形时，求线段DG的长；
（3）将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，连结B′G（如图2），当以点B′，G，E，F为顶点的四边形是矩形时，直接写出线段DG的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出AD∥BC，即可得出四边形BEGF是平行四边形；
（2）根据菱形的性质得出BF=FG=BE=4，再用勾股定理即可；
（3）由题意判断出△ABF∽△FEB得出$\frac{\sqrt{3}}{EF}=\frac{BF}{4}$①，再利用勾股定理得出BF²+EF²=16②，联立方程组求出BF，再用勾股定理求出AF即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵FG=BE，
∴四边形BEGF是平行四边形；
（2））∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=9，∠BAD=90°，
∵四边形BEGF是菱形，
∴BF=FG=BE=4，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴DG=AD-AF-FG=9-4-$\sqrt{13}$=5-$\sqrt{13}$；
（3）∵△BEF沿EF折叠得到△B′EF，
∴∠BFE=∠B'FE，
∵点B′，G，E，F为顶点的四边形是矩形，
∴∠BFE=∠B'FE=90°，
∴∠AFB+∠EFG=90°，
∵∠EFG=∠BEF，
∴∠AFB=∠BEF，
∵∠A=∠BFE=90°，
∴△ABF∽△FEB，
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{BF}{BE}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{EF}=\frac{BF}{4}$①
在Rt△BEF中，BF²+EF²=16②
联立①②得出BF=2或BF=2$\sqrt{3}$，
当BF=2时，根据勾股定理得，AF=1，
DG=AD-AF-FG=9-1-4=4，
∴BF=2$\sqrt{3}$，根据勾股定理得，AF=3，
∴DG=AD-AF-FG=9-3-4=2．
即：DG=2或4．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断出△ABF∽△FEB．