Question

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O．
（1）（图1）若E为AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF；
（2）（图2）若E为AC延长线上一点，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：根据正方形的性质利用ASA判定△AOF≌△BOE，根据全等三角形的对应边相等得到OE=OF；同理第二问也一样．

解答：证明：（1）如图（1）
正方形ABCD中，
∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠OBE+∠BEO=90°，
∵AG⊥EB，
∴∠AGE=90°，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△AOF和△BOE中

∠AOF=∠BOE AO=BO ∠OAF=∠OBE

∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF．

（2）OE=OF仍然成立．
理由：如图（2）
正方形ABCD中，∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠FAO+∠F=90°，
∵AG⊥EB，∴∠AGE=90°，
∴∠GAE+∠E=90°，
∴∠E=∠F，
在△AOF和△BOE中

∠AOF=∠BOE ∠E=∠F AO=BO

∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE=OF．
所以结论仍然成立．

点评：此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的理解及运用．