已知:如图.对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.连接BC.AC.且OB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{3}$OC．(1)求抛物线的函数表达式,(2)若点P为线段AC上的一点.过P作PM⊥x轴于点M.PQ∥x轴交BC于点Q.再过点Q作QN⊥x轴于点N.求四边形PMNQ为正方形时点P的坐标,(3)若动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

已知：如图，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC，且OB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{3}$OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P为线段AC上的一点，过P作PM⊥x轴于点M，PQ∥x轴交BC于点Q，再过点Q作QN⊥x轴于点N，求四边形PMNQ为正方形时点P的坐标；
（3）若动点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D，连接CE．设AE的长为m，求△CDE的面积最大时，点E到直线BC的距离．

分析（1）根据A、B关于x=$\frac{3}{2}$对称，及OB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{3}$OC，可得A、B、C的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据待定系数法，可得AC、BC的解析式，根据P在AC上，可得P点坐标，根据PM⊥x轴于点M，可得PM的长，根据PQ∥x轴交BC于点Q，可得Q点的坐标，根据正方形的边长相等，可得关于a的方程，根据解方程，可得P点坐标；
（3）根据平行线间的关系，可得DE的解析式，根据联立方程组，可得D点坐标，根据勾股定理，可得ED的长，根据平行线间的距离相等，可得E到BC的距离与C到DE的距离相等，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据代数式求值，可得答案．

解答解：（1）由抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC，且OB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{3}$OC，
设OB=-a，OA=2a，OC=-3a．
由AB关于x=$\frac{3}{2}$对称，得
$\frac{-a+2a}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=3，B（3，0），A（6，0），C（0，-9）．
将A、B、C点的坐标代入抛物线解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{c=-9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-9}\end{array}\right.$，
抛物线的函数表达式y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-9；

（2）设AC的解析式为y=k₁x+b₁，
将A、C点坐标，得$\left\{\begin{array}{l}{-6{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{{b}_{1}=-9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{b}_{1}=9}\end{array}\right.$，
AC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-9，
P在AC上，设P点坐标为（a，$\frac{3}{2}$a-9），PM=|$\frac{3}{2}$a-9|．
BC的解析式为y=-3x-9，
PQ∥x轴Q点的纵坐标为$\frac{3}{2}$a-9，
将Q点的纵坐标代入函数解析式，得-3x-9=$\frac{3}{2}$a-9，
解得x=-$\frac{a}{2}$．
PQ=a-（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{3}{2}$a，
由四边形PMNQ为正方形，得PQ=PM，即$\frac{3}{2}$a=$\frac{3}{2}$a-9或$\frac{3}{2}$a=9-$\frac{3}{2}$a，
解得a=3，$\frac{3}{2}$a-9=-$\frac{9}{2}$，
四边形PMNQ为正方形时点P的坐标是（3，-$\frac{9}{2}$）；
（3）E点坐标为（6-m，0），点E作直线l平行BC，
设DE的解析式为y=-3x+b，将E点坐标代入，得
-3（6-m）+b=0，．解得b=18-3m，
DE的解析式为y=-3x+18-3m，
联立DE与AC，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+18-3m}\\{y=\frac{3}{2}x-9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6-\frac{2}{3}m}\\{y=-m}\end{array}\right.$，
D点坐标为（6-$\frac{2}{3}$m，-m），
由勾股定理，得DE=$\sqrt{[（6-m）-（6-\frac{2}{3}m）]^{2}+{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$m，
E到BC的距离$\frac{|3（6-m）+0+9|}{\sqrt{（-3）^{2}+1}}$=$\frac{|27-3m|}{\sqrt{10}}$，
E到BC的距离与D到BC的距离相等，得D到BC的距离是$\frac{27-3m}{\sqrt{10}}$，
S_△CDE=$\frac{1}{2}$•$\frac{27-3m}{\sqrt{10}}$$•\frac{\sqrt{10}m}{3}$=$\frac{1}{2}$[（-（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{4}$]
当m=$\frac{9}{2}$时，S_△CDE最大．
即m=$\frac{9}{2}$，S_△CDE最大时，D到BC的距离是$\frac{27-3m}{\sqrt{10}}$=$\frac{27-3×\frac{9}{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{27\sqrt{10}}{20}$．

点评本题考查了二次函数综合题，（1）利用A、B关于x=$\frac{3}{2}$对称，及OB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{3}$OC得出A、B、C的坐标是解题关键；（2）利用图象上的点满足函数解析式得出P点坐标，又利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等得出Q点坐标，利用正方形的性质得出关于a的方程是解题关键；（3）利用利用解方程组得出D点坐标，利用勾股定理得出DE的长，利用平行线间的距离相等得出E到BC的距离与C到DE的距离相等是解题关键，又利用了二次函数的性质．

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	C．	$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-z=5}\end{array}\right.$		D．	$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+\frac{3}{y}=4}\\{\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1}\end{array}\right.$

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