Question

13．如图，点P是菱形ABCD的对角线DB延长线上一点，连接PC并延长，交AD延长线于点E，AB延长线于点F．
（1）求证△PAB≌△PCB；
（2）求证△PAF∽△PEA；
（3）若AP=6，FP=2，求EF．

Answer 1

分析 （1）先由菱形的性质得出BC=BA，∠CBD=∠ABD，进而判断出△PAB≌△PCB；
（2）借助（1）的结论得出∠PAB=∠PCB，再用菱形的性质得出∠PAB=∠E，进而判断出结论；
（3）借助（2）的相似得出比例式求出PE，即可求出EF．

解答 解（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=BA，∠CBD=∠ABD，
∴∠CBP=∠ABP，
在△PAB和△PCB中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠CBP=∠ABP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△PCB，
（2）由（1）知，△PAB≌△PCB，
∴∠PAB=∠PCB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AE，
∴∠PCB=∠E，
∴∠PAB=∠E，
∵∠APF=∠EPA，
∴△PAF∽△PEA，
（3）由（2）知，△PAF∽△PEA，
∴$\frac{PA}{PE}=\frac{PF}{PA}$，
∴$\frac{6}{PE}=\frac{2}{6}$，
∴PE=18，
∴EF=PE-FP=16．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，判断出△PAB≌△PCB是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．