Question

1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是劣弧AC上的一点，连结AD并延长与BC的延长线交于点E，AC、BD相交于点M．
（1）求证：BC•CE=AC•MC；
（2）若点D是劣弧AC的中点，tan∠ACD=$\frac{1}{3}$，MD•BD=10，求⊙O的半径．
（3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC，交CD的延长线于点F，求$\frac{CF}{CD}$-$\frac{BC}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）要证明BC•CE=AC•MC，即证明$\frac{BC}{AC}$=$\frac{MC}{CE}$，即证明△CBM∽△CAE；
（2）因为点D是劣弧$\widehat{AC}$的中点，所以$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，所以∠ABD=∠CAE=∠ACD，进而证明△AMD∽△BAD，可得AD²=MD•BD=10，再由tan∠ACD=tan∠ABD=$\frac{1}{3}$求出BD的长度，利用勾股定理求出直径AB的长度后，即可求出半径的长度；
（3）因为CD∥AB，AF∥BC，所以△CDE∽△BAE，△ADF∽△DEC，利用对边的比相等可得$\frac{BC}{CE}$=$\frac{DF}{CD}$，所以$\frac{CF}{CD}$-$\frac{BC}{CE}$=$\frac{CF}{CD}$-$\frac{DF}{CD}$．

解答 解：（1）∵$\widehat{CD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠MBC=∠CAE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCM=∠ACE=90°，
∴△CBM∽△CAE，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{MC}{CE}$，
∴BC•CE=AC•MC；

（2）∵点D是劣弧$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$；
∴∠ABD=∠MBC，∠ACD=∠CAE
∵∠MBC=∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE=∠ACD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△AMD∽△BAD，
∴$\frac{MD}{AD}$=$\frac{AD}{BD}$，
∴AD²=MD•BD=10，
∴AD=$\sqrt{10}$，
∵tan∠ACD=tan∠ABD=$\frac{1}{3}$
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，
∴BD=3$\sqrt{10}$
∵AB²=AD²+BD²，
∴AB=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}+（3\sqrt{10}）^{2}}$=10
∴⊙O的半径为：$\frac{1}{2}$AB=5；

（3）∵CD∥AB，
∴△CDE∽△BAE，
∴$\frac{BC}{CE}$=$\frac{AD}{DE}$，
∵AF∥CE，
∴△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DF}{CD}$，
∴$\frac{BC}{CE}$=$\frac{DF}{CD}$，
∴$\frac{CF}{CD}$-$\frac{BC}{CE}$=$\frac{CF}{CD}$-$\frac{DF}{CD}$=$\frac{CF-DF}{CD}$=$\frac{CD}{CD}=1$．

点评 此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．