Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），点A和x轴正半轴上的点B，满足AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）连接OM，求∠AOM的大小；
（2）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点M作MD⊥x轴于点D，根据点M的坐标，求出∠DOM的度数，继而可得∠AOM的大小；
（2）过点A作AE垂直y轴于点E，作AF⊥x轴于点F，则可得∠ABE=30°，从而确定点C在点B右侧，根据相似三角形的性质求出BC的长度，即可确定点C的坐标．

解答 解：（1）过点M作MD⊥x轴于点D，如图1所示：
∵点M坐标为（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴OD=1，MD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠DOM=$\frac{DM}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DOM=30°，
∴∠AOM=∠AOM+∠DOM=150°；

（2）过点A作AE⊥y轴于点E，作AF⊥x轴于点F，连接AB，如图2所示：
∵∠AOB=120°，∠EOB=90°，
∴∠AOE=30°，
又∵OA=OB=2，
∴AE=1，OE=$\sqrt{3}$，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{3}$，BF=OF+OB=3，
∵tan∠ABF=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABF=30°，
又∵△ABC与△AOM相似，
∴点C只能在点B右侧，
①当△AOM∽△ABC时，$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OM}{BC}$，即$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{BC}$，
解得：BC=2，
∴此时点C坐标为（4，0）；
②当△AOM∽△CBA时，$\frac{AO}{CB}$=$\frac{OM}{BA}$，即$\frac{2}{CB}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2\sqrt{3}}$，
解得：CB=6，
∴此时点C的坐标为（8，0）．
综上可得点C的坐标为（4，0）或（8，0）．

点评 本题考查了相似形的综合，涉及了相似三角形的判定与性质、解直角三角形及含30°角的直角三角形的性质，综合性较强，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的运用，难度较大．