Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，直线ED交BC的延长线于F．
（1）求证：BC=FC；
（2）若AD：AE=2：1，求cot∠F的值．

Answer 1

（1）证明：连接BD．（1分）
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°，
∴∠EBD=90°-∠BED．
∵∠EBF=90°
∴∠F=90°-∠BEF．
∴∠F=∠EBD．（2分）
∵⊙O切AC于D，
∴∠EBD=∠ADE=∠CDF．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF，（3分）
∵OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，
由切线长定理可知：CD=CB．
∴BC=FC．（4分）

（2）在△ADE和△ABD中，
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABD，
∴△ADE∽△ABD．（6分）
∴

AE

AD

=

DE

BD

，
∵AD：AE=2：1．
∴BD：DE=2：1，
又∵∠F=∠EBD．
∴cot∠F=cot∠EBD=

BD

DE

=2．（9分）