Question

已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为A（2，3），C（n，-3）（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O-A-B-C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=______；
（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；
（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，
①求此抛物线W的解析式；
②若点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）根据图中得出：
当P点运动到A点时，△POC的面积为12，
∴AO=

22+32

=

13

，
∴m=

13

，
故答案为：

13

；

（2）∵图1中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为D（m，12），
∴y_E=y_D=12，此时图2中点P运动到与点B重合，
∵点B在x轴的正半轴上，
∴S_△BOC=

1

2

×OB×|yC|=

1

2

×OB×3=12．
解得OB=8，点B的坐标为（8，0）．
此时作AM⊥OB于点M，CN⊥OB于点N．
（如图2）．
∵点C的坐标为C（n，-3），
∴点C在直线y=-3上．
又∵由图1中四边形ODEF是等腰梯形可知图2中的点C在过点O与AB平行的直线l上，
∴点C是直线y=-3与直线l的交点，且∠ABM=∠CON．
又∵|y_A|=|y_C|=3，即AM=CN，
可得△ABM≌△CON．
∴ON=BM=6，点C的坐标为C（6，-3）．
∵图2中AB=

AM2+BM2

=

32+62

=3

5

．
∴图1中DE=3

5

，OF=2x_D+DE=2

13

+3

5

．

（3）①当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，作PG⊥OB于点G．
（如图3）
∵O，B两点的坐标分别为O（0，0），B（8，0），
∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4．由tan∠ABM=

AM

BM

=

3

6

=

PG

BG

可得PG=2．
∴点P的坐标为P（4，2），
设抛物线W的解析式为y=ax（x-8）（a≠0）．
∵抛物线过点P（4，2），
∴4a（4-8）=2．
解得a=-

1

8

．
∴抛物线W的解析式为y=-

1

8

x2+x．
②如图4．
i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的边时，
∵点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，点P为抛物线W的顶点，
结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况，点Q与原点重合，其坐标为Q₁（0，0）．
ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时，可知BP的中点的坐标为（6，1），BP的中垂线的解析式为y=2x-11．
∴点Q₂的横坐标是方程-

1

8

x2+x=2x-11的解．
将该方程整理得x²+8x-88=0．
解得x=-4±2

26

．
由点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，结合图4可知点Q₂的横坐标为2

26

-4．
∴点Q₂的坐标是Q₂（2

26

-4，4

26

-19）．
综上所述，符合题意的点Q的坐标是Q₁（0，0），Q₂（2

26

-4，4

26

-19）．