Question

6．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，其中DE交边AB于点M，交直线AP于点F，若tan∠EDA=$\frac{3}{4}$，DF=7，则BC的长为5．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，利用tan∠EDA=$\frac{3}{4}$设AM=3x，AD=4x，则DM=5x，证明△GAB≌△MAD，
则AG=AM=3x，再根据同角的三角函数列比例式，得出方程，求出x的值即可．

解答 解：连接BF并延长，与DA的延长线交于点G，
∵B、E关于直线AP对称，
∴AP是线段BE的垂直平分线，
∴AE=AB，EF=FB，
∴∠AEB=∠ABE，∠FEP=∠FBE，
∴∠AEB-∠FEB=∠ABE-∠FBE，
即∠AEF=∠ABF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠ADE=∠ABF，
∵∠ABF+∠G=90°，
∴∠ADE+∠G=90°，
∴∠GFD=90°，
∵∠GAB=∠BAD=90°，
∴△GAB≌△MAD，
∴AG=AM，
∴tan∠EDA=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
设AM=3x，AD=4x，则DM=5x，
∴GD=AG+AD=3x+4x=7x，
cos∠EDA=$\frac{AD}{DM}=\frac{DF}{DG}$，
∴$\frac{4x}{5x}=\frac{7}{7x}$，
∴4x=5，
∴BC=AD=4x=5，
故答案为：5．

点评 本题考查了正方形和轴对称的性质，巧妙地作辅助线，构建全个直角三角形全等，利用已知的三角函数的比设出未知数，利用全等表示AG的长；同时还运用了轴对称的性质：对称轴是对称点连线的垂直平分线；根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出边的关系，从而得出角相等，使问题得以解决．