Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x。

（1）在△ABC中，AB＝               ；
（2）当x＝      时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。

Answer 1

（1）10；（2）5；（3）不存在

试题分析：（1）仔细分析题意利用勾股定理求解即可；
（2）利用MP∥BC和NP∥AC，可得到，，将AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x
代入式中就能得到PM和PN关于x的表达式．再由矩形周长=2（PM+PN），求出x的值．
（3）当P为AB的中点时，△PAM的面积与△PBN的面积才相等，再求出矩形PMCN的面积，进行判断．
（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，

（2））∵PM⊥AC  PN⊥BC
∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴，
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，

∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（x+8-x）=14，解得x=5；
（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=∠C=90º.
∴AC∥PN，∠A=∠NPB.
∴△AMP∽△PNB∽△ABC.
当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB
此时S_△AMP=S_△PNB=×4×3=6
而S_矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.
所以不存在x的值，能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．