Question

17．如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y₁=-x+m与二次函数y₂=ax²+bx-3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式；
（2）请直接写出使y₁＞y₂时自变量x的取值范围；
（3）是否存在直线AB下方的抛物线上的一点P，使△ABP的面积等于6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为点A（-1，0）、B（2，-3）都在一次函数和二次函数图象上，一次函数只有一个待定系数m，所以将A（-1，0）、B（2，-3）中任意一点的坐标代入y₂=-x+m即可；二次函数y₁=ax²+bx-3有两个待定系数a、b，所以需要A（-1，0）、B（2，-3）两点的坐标都代入y₁=ax²+bx-3，用二元一次方程组解出a、b的值．
（2）直接观察图象中同一个横坐标对应的y₁、y₂的值，直接得到答案；

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y₂=-x+m得：0=-（-1）+m，
∴m=-1．
把A（-1，0）、B（2，-3）两点代入y₁=ax²+bx-3得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{4a+2b-3=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y₂=x²-2x-3；
（2）∵y₁=x²-2x-3=（x+1）（x-3），抛物线开口向上，
∴A（-1，0），B（2，-3）
∴当y₁＞y₂时，-1＜x＜2；
（3）不存在直线AB下方的抛物线上的一点P，使△ABP的面积等于6，
理由如下，假设存在P点，作PC⊥x轴，交AB于C点，
如图，
设P点坐标为（a，a²-2a-3），C点坐标为（a，-a-1），
PC的长为-a-1-（a²-2a-3）=-a²+a+2，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$PC•（x_B-x_A）=6
即$\frac{1}{2}$（-a²+a+2）（2+1）=6，
解得a=2，a=-1，
P（2，-3）与B点重合，P点是（-1，0）与A点重合，
假设不成立，∴P点不存在．

点评 本题考查了直线与抛物线解析式的求法，抛物线的相关性质的运用．关键是熟练掌握抛物线顶点式与交点式与性质之间的联系．