Question

17、如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面四个图形中，∠APC，∠PAB与∠PCD的关系．

Answer 1

分析：图1：首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
图2：首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；
图3：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠A=∠1，又由三角形外角的性质，即可求得答案；
图4：由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A=∠1，又由三角形外角的性质，即可求得答案．

解答： 解：图1：∠APC=∠PAB+∠PCD．
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD（平行线的传递性），
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，即∠APC=∠PAB+∠PCD；

图2：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
理由：过点P作PE∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD（平行线的传递性），
∴∠A+∠1=180°，∠2+∠B=180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

图3：∠APC=∠PCD-∠PAB．
理由：延长DC交AP于点E．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠PAB（两直线平行，同位角相等）；
又∵∠PCD=∠1+∠APC，
∴∠PAB=∠APC+∠PCD，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB；

图4：∴∠PAB=∠APC+∠PCD．
理由：∵AB∥BC，
∴∠1=∠PAB（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠1=∠APC+∠PCD，
∴∠PAB=∠APC+∠PCD．

点评：此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．