Question

7．已知，A、B是⊙O上两点，∠AOB=120°，C为AB的中点．
（1）如图①，求证：四边形OACB是菱形；
（2）如图②，P为优弧$\widehat{AB}$上一点，PA=3，PB=2，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图①，由$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$得到∠AOC=∠BOC=60°，则可判断△AOC和△BOC都是等边三角形，所以OA=AC=BC=OB，然后根据菱形的判定方法可得四边形OACB是菱形；
（2）连结OA、OB、AC、BC，作AE⊥PC于E，BF⊥PC于F，如图②，根据圆周角定理得∠APC=∠BPC=30°，再利用含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△APE中可计算出AE=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{3}{2}$，PE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，在Rt△PBF中可计算出BF=$\frac{1}{2}$PB=1，PF=$\sqrt{3}$BF=$\sqrt{3}$，则EF=PE-PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，设CE=x，利用勾股定理和AC=BC可得到x²+（$\frac{3}{2}$）²=（x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+1²，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，然后计算PE+CE即可．

解答 （1）证明：连结OC，如图①，
∵C为$\widehat{AB}$的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
而OA=OC，OB=OC，
∴△AOC和△BOC都是等边三角形，
∴OA=AC=BC=OB，
∴四边形OACB是菱形；
（2）解：连结OA、OB、AC、BC，作AE⊥PC于E，BF⊥PC于F，如图②，
∵∠AOC=∠BOC=60°，
∴∠APC=∠BPC=30°，
在Rt△APE中，AE=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{3}{2}$，PE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△PBF中，BF=$\frac{1}{2}$PB=1，PF=$\sqrt{3}$BF=$\sqrt{3}$，
∴EF=PE-PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设CE=x，
在Rt△ACE中，AC²=x²+（$\frac{3}{2}$）²，
在Rt△BCF中，BC²=（x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+1²，
而AC=BC，
∴x²+（$\frac{3}{2}$）²=（x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+1²，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴PC=PE+CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．