Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH＝.  

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若 ＝时，求点P的坐标；

（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG 与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由

 

                      

Answer 1

解：（1）∵ M为抛物线的顶点，

∴M（2，c）．∴OH＝2，MH＝|c|．∵a<0，且抛物线与x轴有交点，∴c＞0，∴MH＝c．

∵sin∠MOH＝，∴．∴OM＝，∵，∴MH＝c＝4．∴M（2，4）．∴抛物线的函数表达式为：．

（2）如图1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH．

∴∠EHO＝∠FMH，∠OEH＝∠HFM．∴△OEH∽△HFM．

∴＝＝．∵＝，∴MF＝HF．

∴∠OHP＝∠FHM＝45°．∴OP＝OH＝2，∴P（0，2）．

 如图2，同理可得，P（0，﹣2）．-

（3）∵A（-1，0），∴D（1，0）．

∵M（2，4），D（1，0），∴MD：．∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，∴，∴AN＝，ON＝，N（0，）．

如图3，若△ANG ∽ △AMD，可得NG∥MD，∴QG：．

 如图4，若△ANG ∽ △ADM，可得，．

∴AG＝，∴G（，0），∴QG：；

综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：或．