在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴的正半轴于点C,其顶点为M,MH⊥x轴于点H,MA交y轴于点N,sin∠MOH=.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)过H的直线与y轴相交于点P,过O,M两点作直线PH的垂线,垂足分别为E,F,若 =时,求点P的坐标;
(3)将(1)中的抛物线沿y轴折叠,使点A落在点D处,连接MD,Q为(1)中的抛物线上的一动点,直线NQ交x轴于点G,当Q点在抛物线上运动时,是否存在点Q,使△ANG 与△ADM相似?若存在,求出所有符合条件的直线QG的解析式;若不存在,请说明理由
解:(1)∵ M为抛物线的顶点,
∴M(2,c).∴OH=2,MH=|c|.∵a<0,且抛物线与x轴有交点,∴c>0,∴MH=c.
∵sin∠MOH=,∴.∴OM=,∵,∴MH=c=4.∴M(2,4).∴抛物线的函数表达式为:.
(2)如图1,∵OE⊥PH,MF⊥PH,MH⊥OH.
∴∠EHO=∠FMH,∠OEH=∠HFM.∴△OEH∽△HFM.
∴==.∵=,∴MF=HF.
∴∠OHP=∠FHM=45°.∴OP=OH=2,∴P(0,2).
如图2,同理可得,P(0,﹣2).-
(3)∵A(-1,0),∴D(1,0).
∵M(2,4),D(1,0),∴MD:.∵ON∥MH,∴△AON∽△AHM,∴,∴AN=,ON=,N(0,).
如图3,若△ANG ∽ △AMD,可得NG∥MD,∴QG:.
如图4,若△ANG ∽ △ADM,可得,.
∴AG=,∴G(,0),∴QG:;
综上所述,符合条件的所有直线QG的解析式为:或.
科目:初中数学 来源: 题型:
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(1)如果专卖店每天要想获得770元的利润,且要尽可能的让利给顾客,那么售价应涨价多少元?
(2)请你帮专卖店老板算一算,如何定价才能使利润最大,并求出此时的最大利润?
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科目:初中数学 来源: 题型:
已知两圆的半径长是方程的两个解,且两圆的圆心距为d,若两圆相离,则下列结论正确的是( )
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