Question

在1998年的特大洪水期间，为了加固一段大堤，需运来沙石和土将大堤堤面加宽1米，使背水坡的坡度由原来的1：2变为1：3，已知原来背水坡的坡长为BC=15米，堤长100米，那么需要的沙石和土多少方？

Answer 1

解：过C作CE⊥AB，垂足为E，设CE=x，则BE=2x，过D作DF⊥AB，垂足为F，则DF=CE=x，AF=3x，
∴AB=AF-BF=AF-（BE-EF）=3x-（2x-1）=x+1，
∵在Rt△CEB中，∠BEC=90°，BC=15，
∴x²+（2x）²=15²，得：x=3，
∴CE=3，AB=3+1，
∴S_梯形ABCD=（1+3+1）×3=3+，
∴需沙石和土：V=（3+）×100=300+2250（m³）．
分析：增加部分的截面为梯形ABCD，需要计算梯形ABCD的面积，依题意过C作CE⊥AB，垂足为E，设CE=x，则BE=2x，过D作DF⊥AB，垂足为F，则DF=CE=x，AF=3x，在Rt△CEB中，∠BEC=90°，由勾股定理求DE，BE，再利用AB=AF-BF=AF-（BE-EF）=3x-（2x-1）=x+1，求AB，根据梯形面积公式求S_梯形ABCD，由堤长100米求土方数．
点评：本题考查了解直角三角形的运用，坡度坡角问题．关键过梯形上底的两个端点作梯形的高，将问题转化为解直角三角形的知识解题．