Question

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+2x+3与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，连结BC．点M是抛物线上A，C之间的一个动点，过点M作MN∥BC，分别交x轴、抛物线于D，N，过点M作EF⊥x轴，垂足为F，并交直线BC于点E，
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）当点M恰好是EF的中点，求BD的长．
（3）连接DE，记△DEM，△BDE的面积分别为S₁，S₂，当BD=1时，则S₂-S₁=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）在y=-x²+2x+3中，令y=0可求得A、B的坐标，令x=0可求得C点坐标；
（2）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，设M（t，-t²+2t+3），则可表示出E点坐标，可用t表示出MF和EF的长，由M为EF的中点可得到关于t的方程，则可求得EF的长，即可得出BF的长，可求得BD的长；
（3）过D作DH∥EF，则可证得四边形DHEM为平行四边形，则可知S₂-S₁=S_△HDB，则可求得答案．

解答 解：
（1）在y=-x²+2x+3中，令y=0可得-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
令x=0可得y=3，
∴C（0，3）；

（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=-x+3，
∵点M是抛物线上A，C之间的一个动点，
∴可设M（t，-t²+2t+3）（-1＜t＜0），则E（t，-t+3），
∴EF=-t+3，MF=-t²+2t+3，
∵M为EF的中点，
∴-t+3=2（-t²+2t+3），解得t=-$\frac{1}{2}$或t=3（不符合题意，舍去），
∴F（-$\frac{1}{2}$，0），
∴BF=3-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$，
∵MN∥BC，
∴D为BF的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{7}{4}$；

（3）如图，过D作DH∥EF，

∵MN∥BC，
∴四边形DHEM为平行四边形，
∴S_△DEM=S_△DEH，
∵DH⊥BD，且∠OBC=45°，
∴DH=BD=1，
∴S₂-S₁=S_△HDB=$\frac{1}{2}$BD•DH=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、抛物线与坐标轴的交点、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、三角形的面积等知识．在（2）中用M点的坐标分别表示出MF和EF的长是解题的关键，在（3）中得出S₂-S₁=S_△HDB是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．