Question

证明：三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的2倍．
把条件改写一下：已知AD、BE为△ABC的两高线，其交点为H，OM、ON分别为BC、CA的中垂线且交于O．须证：AH=2OM，BH=2ON．

Answer 1

证明：
方法一：（中位线定理）取AH、BH中点F、G，
连接FG，则FG∥AB，FG=AB．
连接MN，则MN∥FG，MN=AB．故MN∥FG．
因FD⊥BC，OM⊥BC，故FD∥OM，即FH∥OM．从而∠HFG=∠OMN．
同理∠HCF=∠ONM．于是△HFG∽△OMN．
∴OM=FH=AN，ON=GH=BH．
即AH=2OM，BH=2ON．
方法二：（中位线定理）连接CH，取CH中点F，连接NF、MF，则NF∥AH，
同理MF∥BH，但BE∥ON（因BE、ON同垂直于BC）．故MF∥ON．
同理NF=OM．从而OMFN是平行四边形．于是OM=NF=AH．
即AH=2OM，BH=2ON．
方法三：（利用相似），连接MN，则MN∥AB，MN=AB．
因AD∥OM（AD、OM同垂直于BC），BE∥ON．
故△ABH∽△MNO，．
于是AH=20M，BH=20N．
分析：取AH、BH中点F、G，连接FG，可得FG=AB．连接MN，可得MN=AB．利用MN∥FG，MN∥FG和FD⊥BC，OM⊥BC，求证∠HFG=∠OMN．同理∠HCF=∠ONM．从而证明△HFG∽△OMN，即可得出结论．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的方法很多，但关键都是利用相似三角形对应边成比例来求解．