Question

13．若以△ABC的边AB，BC为边向三角形外作正方形ABDE，BCFG，N为AC中点，求证：DG=2BN，BM⊥DG．

Answer 1

分析 延长BN到点H，使HN=BN，连接AH，可证明△BCN≌△HAN，可得AH=BC=BG，可证明△ABH≌△BDG，可证得结论．

解答 证明：
如图，延长BN到点H，使HN=BN，连接AH，

∵N为AC中点，
∴AN=NC，
在△BCN和△HAN中
$\left\{\begin{array}{l}{BN=HN}\\{∠BNC=∠ANH}\\{CN=AN}\end{array}\right.$
∴△BCN≌△HAN（SAS），
∴AH=BC，∠1=∠2，
∴BC∥AH，
∴∠BAH+∠ABC=180°，
∵四边形BCFG和ABDE为正方形，
∴AB=BD，AH=BC=BG，∠ABD=∠GBC=90°，
∴∠ABC+∠DBG=180°，
∴∠BAH=∠DBG，
在△ABH和△BDG中
$\left\{\begin{array}{l}{AH=BG}\\{∠BAH=∠DBG}\\{AB=BD}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△BDG（SAS），
∴DG=BH=2BN，且∠1=∠3，
又∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵∠CBG=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠3+4=90°，
∴∠BMG=90°，即BM⊥DG．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及正方形的性质，构造三角形全等是解题的关键，注意灵活运用全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．