Question

1．在△ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD²=AD•DB，求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，由在△ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD²=AD•DB，易证得△ACD∽△CBD，继而可得∠A=∠BCD，求得∠ACB=90°．

解答 证明：如图，∵CD²=AD•DB，
∴BD：CD=CD：AD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
∵∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意证得△ACD∽△CBD是解此题的关键．