【题目】已知,如图,点F在AB上,点E在CD上,AE、DF分别交BC与H,G,∠A=∠D,∠FGB+∠EHG=180°.
(1)求证:AB∥CD;
(2)若AE⊥BC,直接写出图中所有与∠C互余的角,不需要证明.
【答案】(1)详见解析;(2)与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG.
【解析】
(1)由∠FGB+∠EHG=180°易得AE∥DF,从而有∠A+∠AFD=180°,又因∠A=∠D,所以∠D+∠AFD=180°,则AB∥CD. (2)利用平行线性质,进行角度替换可得到与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG.
解:(1)∵∠FGB+∠EHG=180°,
∴∠HGD+∠EHG=180°,
∴AE∥DF,
∴∠A+∠AFD=180°,
又∵∠A=∠D,
∴∠D+∠AFD=180°,
∴AB∥CD.
(2)∵AE⊥BC,
∴∠CHE=90°,
∴∠C+∠AEC=90°,即∠C与∠AEC互余,
∵AE∥DF,
∴∠AEC=∠D,∠A=∠BFG,
∵AB∥CD,
∴∠AEC=∠A,
综上,与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG.
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【题目】如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)判断OE与OF的大小关系?并说明理由?
(2)当点O运动何处时,四边形AECF是矩形?并说出你的理由.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G,
AF与BG交于点E.
(1)求证:AF⊥BG,DF=CG;
(2)若AB=10,AD=6,AF=8,求FG和BG的长度.
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【题目】如图是一个平面直角坐标系.
(1)请在图中描出以下6个点:A(0,2)、B(4,2)、C(3,4)A′(-4,-4)、B'(0,-4)、C′(-1,-2)
(2)分别顺次连接A、B、C和A′、B'、C',得到三角形ABC和三角形A′B′C′;
(3)观察所画的图形,判断三角形A′B′C′能否由三角形ABC平移得到,如果能,请说出三角形A′B′C′是由三角形ABC怎样平移得到的;如果不能,说明理由.
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【题目】如图,正方形 ABCD 的边长为1,其面积为 S1,以CD 为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积记为 S2,…,按此规律继续下去,则 S9的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在AB、AC上,且CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF,连接EF.
(1)求证:△BDC≌△EFC;
(2)若EF∥CD,求证:∠BDC=90°.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,三角形OAB的边OA、OB分别在x轴正半轴上和y轴正半轴上,A(a,0),a是方程的解,且△OAB的面积为6.
(1)求点A、B的坐标;
(2)将线段OA沿轴向上平移后得到PQ,点O、A的对应点分别为点P和点Q(点P与点B不重合),设点P的纵坐标为t,△BPQ的面积为S,请用含t的式子表示S;
(3)在(2)的条件下,设PQ交线段AB于点K,若PK=,求t的值及△BPQ的面积.
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【题目】材料阅读:材料1:符号“”称为二阶行列式,规定它的运算法则为.如.
材料2:我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法,虽然各类方程的解法不尽相同,但是蕴含了相同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,还可以解一些新的方程.例如,求解部分一元二次方程时,我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解.如解方程:.∵∴.故或.因此原方程的解是,.
根据材料回答以下问题:
(1)二阶行列式___________;二阶行列式中的值为__________.
(2)求解中的值.
(3)结合材料,若,,且,求的取值范围.
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