Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，DC=2

2

，点P在BC边上运动（与B、C不重合），设PC=x，四边形ABPD的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若以点D为圆心，

1

2

为半径作⊙D；以点P为圆心，以PC长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,直角梯形

专题：代数几何综合题

分析：（1）如图作DE⊥BC于E，由矩形的性质可以得出DE=AB，由勾股定理可以得出EC的值，进而表示出EP．从而求出BP，再根据梯形的面积公式可以表示出梯形的面积就可以表示出y与x之间的函数的关系式．由点P不与B、C重合，从而可以得出x的范围．
（2）设PC=x时，⊙D与⊙P外切或内切时，分别分析求出x的值，代入（1）的解析式就可以求出四边形ABPD的面积．

解答：解：作DE⊥BC于E，
∴∠BED=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°
∵AD∥BC，
∴∠A=90°，
∴四边形ABED是矩形．
∴AD=BE，AB=DE，
∵AD=1，AB=2，
∴BE=1，DE=2，
在Rt△DEC中，由勾股定理，得
EC=

DC2-DE2

=

(2 2 ) 2-4

=2，
∴BC=3，
∵PC=x，
∴BP=3-x，
y=

1

2

×2×（1+3-x）
=-x+4．
∵P点与B、C不重合，
∴0＜x＜3．

（2）解：当圆P与圆D外切时，如图所示：

过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2

2

，DE=2，
根据勾股定理得：EC=

DC2-DE2

=2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圆D与圆P外切，圆D半径为

1

2

，圆P半径为x，
∴DP=

1

2

+x，
在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（

1

2

+x）²=2²+（2-x）²，
解得：x=

31

20

；
即x=

31

20

时⊙D与⊙P外切．
此时S_{四边形ABPD}=-

31

20

+4=

49

20

．
当圆P与圆D内切时，如图所示：

过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2

2

，DE=2，
根据勾股定理得：EC=

DC2-DE2

=2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圆D与圆P内切，圆D半径为

1

2

，圆P半径为x，
∴DP=x-

1

2

，
在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（x-

1

2

）²=2²+（2-x）²，
解得：x=

31

12

，
综上，当x=

31

20

或

31

12

时，圆D与圆P相切．
即x=

31

12

时⊙D与⊙P内切．
此时S_{四边形ABPD}=-

31

12

+4=

17

12

．

点评：本题主要考查了直角梯形的性质，函数自变量的取值范围，相切两圆的性质，梯形的面积及勾股定理的运用，题目具有综合性，难度适中．