Question

（1）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24，求CD的长；

（2）如图，已知：AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）由OE：CD=5：24，可设OE=5xm，CD=24xm，由OE⊥CD，利用垂径定理可求得DE=12xm，然后由勾股定理，可得方程：13²=（5x）²+（12x）²，解此方程即可求得答案；
（2）首先连接OD，易得OD是△ABC的中位线，即可证得OD∥AC，又由DE⊥AC，即可证得DE⊥OD，则可得DE是⊙O的切线．

解答：（1）解：设OE=5xm，CD=24xm，
∵OE⊥CD，
∴DE=

1

2

CD=12xm，
∵AB=26m，
∴OD=13m，
在Rt△ODE中，OD²=ED²+OE²，
即：13²=（5x）²+（12x）²，
解得：x=±1（负数舍去），
∴CD=24x=24（m）；

（2）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵⊙O过BC的中点D，
∴DE是⊙O的切线．

点评：此题考查了垂径定理、切线的判定、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．